九章算術
卷七
《》作者:張蒼
○盈不足(以御隱雜互見) 今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。
問人數、物價各幾何?答曰: 七人。
物價五十三。
今有共買雞,人出九,盈一十一;人出六,不足十六。
問人數、雞價各幾何? 答曰:九人。
雞價七十。
今有共買璡,人出半,盈四;人出少半,不足三。
問人數、璡價各幾何?答 曰:四十二人。
璡價十七。
〔注云「若兩設有分者,齊其子,同其母」,此問兩設俱見零分,故齊其子, 同其母。
又云「令下維乘上。
訖,以同約之」,不可約,故以乘,同之。
〕 今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三 十。
問家數、牛價各幾何?答曰:一百二十六家。
牛價三千七百五十。
〔按:此術並盈不足者,為眾家之差,故以為實。
置所出率,各以家數除之, 各得一家所出率。
以少減多者,得一家之差。
以除,即家數。
以出率乘之,減盈, 故得牛價也。
〕 術曰:置所出率,盈不足各居其下。
令維乘所出率,並,以為實。
並盈、不 足,為法。
實如法而一。
〔按:盈者,謂朓;不足者,謂之朒;所出率謂之假令。
盈、朒維乘兩 設者,欲為同齊之意。
據「共買物,人出八,盈三;人出七,不足四」,齊其假 令,同其盈、朒,盈、朒俱十二。
通計齊則不盈不朒之正數,故可並之為 實,並盈、不足為法。
齊之三十二者,是四假令,有盈十二;齊之二十一者,是 三假令,亦朒十二;並七假令合為一實,故並三、四為法。
〕 有分者通之。
〔若兩設有分者,齊其子,同其母。
令下維乘上,訖,以同約之。
〕 盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。
實為物價, 法為人數。
〔「所出率以少減多」者,余,謂之設差,以為少設。
則並盈、朒,是為 定實。
故以少設約定實,則法,為人數;適足之實故為物價。
盈朒當與少設相 通。
不可遍約,亦當分母乘,設差為約法、實。
〕 其一術曰:並盈、不足為實。
以所出率,以少減多,余為法。
實如法得一人。
以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〔此術意謂盈不足為眾人之差。
以所出率以少減多,余為一人之差。
以一人 之差約眾人之差,故得人數也。
〕 今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。
問人數、金價各 幾何?答曰:三十三人。
金價九千八百。
今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。
問人數、羊價各幾何? 答曰:二十一人。
羊價一百五十。
術曰:置所出率,盈、不足各居其下。
令維乘所出率,以少減多,余為實。
兩盈、兩不足以少減多,余為法。
實如法而一。
有分者,通之。
兩盈兩不足相與 同其買物者,置所出率,以少減多,余,以約法、實。
實為物價,法為人數。
〔按:此術兩不足者,兩設皆不足於正數。
其所以變化,猶兩盈。
而或有勢 同而情違者。
當其為實,俱令不足維乘相減,則遺其所不足焉。
故其餘所以為實 者,無朒數以損焉。
蓋出而有餘,兩盈。
兩設皆逾於正數。
假令與共買物,人 出八,盈三;人出九,盈十。
齊其假令,同其兩盈。
兩盈俱三十。
舉齊則兼去。
其餘所以為實者,無盈數。
兩盈以少減多,余為法。
齊之八十者,是十假令;而 凡盈三十者,是十,以三之;齊之二十七者,是三假令;而凡盈三十者,是三, 以十之。
今假令兩盈共十、三,以三減十,余七,為一實。
故令以三減十,余七 為法。
所出率以少減多,余謂之設差。
因設差為少設,則兩盈之差是為定實。
故 以少設約法得人數,約實即得金數。
〕 其一術曰:置所出率,以少減多,余為法。
兩盈、兩不足以少減多,余為實。
實如法而一,得人數。
以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〔「置所出率,以少減多」,得一人之差。
兩盈、兩不足相減,為眾人之差。
故以一人之差除之,得人數。
以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。
〕 今有共買犬,人出五,不足九十;人出五十,適足。
問人數、犬價各幾何? 答曰:二人。
犬價一百。
今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。
問人數、豕價各幾何? 答曰:一十人。
豕價九百。
術曰:以盈及不足之數為實。
置所出率,以少減多,余為法。
實如法得一人。
其求物價者,以適足乘人數,得物價。
〔此術意謂以所出率,以少減多者,余是一人不足之差。
不足數為眾人之差。
以一人差約之,故得人之數也。
以盈及不足數為實者,數單見,即眾人差,故以 為實。
所出率以少減多,即一人差,故以為法。
以除眾人差,得人數。
以適足乘 人數,即得物價也。
〕 今有米在十斗桶中,不知其數。
滿中添粟而舂之,得米七斗。
問故米幾何? 答曰:二斗五升。
術曰:以盈不足術求之。
假令故米二鬥,不足二升;令之三斗,有餘二升。
〔按:桶受一斛,若使故米二鬥,須添粟八斗以滿之。
八斗得糲米四斗八升, 課於七斗,是為不足二升。
若使故米三斗,須添粟七斗以滿之。
七斗得糲米四斗 二升,課於七斗,是為有餘二升。
以盈不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。
為 齊同者,齊其假令,同其盈朒。
通計齊即不盈不朒之正數,故可以並之為實, 並盈、不足為法。
實如法,即得故米斗數,乃不盈不朒之正數也。
〕 今有垣高九尺。
瓜生其上,蔓日長七寸;瓠生其下,蔓日長一尺。
問幾何日 相逢?瓜、瓠各長几何?答曰:五日十七分日之五。
瓜長三尺七寸一十七分寸之 一。
瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。
術曰:假令五日,不足五寸;令之六日,有餘一尺二寸。
〔按:「假令五日,不足五寸」者,瓜生五日,下垂蔓三尺五寸;瓠生五日, 上延蔓五尺;課於九尺之垣,是為不足五寸。
「令之六日,有餘一尺二寸」者, 若使瓜生六日,下垂蔓四尺二寸;瓠生六日,上延蔓六尺;課於九尺之垣,是為 有餘一尺二寸。
以盈、不足維乘假令之數者,欲為齊同之意。
齊其假令,同其盈 朒。
通計齊即不盈不朒之正數,故可並以為實,並盈、不足為法。
實如法而 一,即設差不盈不朒之正數,即得日數。
以瓜、瓠一日之長乘之,故各得其長 之數也。
〕 今有蒲生一日,長三尺;莞生一日,長一尺。
蒲生日自半,莞生日自倍。
問 幾何日而長等?答曰:二日十三分日之六。
各長四尺八寸一十三分寸之六。
術曰:假令二日,不足一尺五寸;令之三日,有餘一尺七寸半。
〔按:「假令二日,不足一尺五寸」者,蒲生二日,長四尺五寸;莞生二日, 長三尺;是為未相及一尺五寸,故曰不足。
「令之三日,有餘一尺七寸半」者, 蒲增前七寸半,莞增前四尺,是為過一尺七寸半,故曰有餘。
以盈不足乘除之。
又以後一日所長各乘日分子,如日分母而一者,各得日分子之長也。
故各增二日 定長,即得其數。
〕 今有醇酒一鬥,直錢五十;行酒一鬥,直錢一十。
今將錢三十,得酒二鬥。
問醇、行酒各得幾何?答曰:醇酒二升半。
行灑一斗七升半。
術曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有餘一十;令之醇酒二升,行酒一斗 八升,不足二。
〔據醇酒五升,直錢二十五;行酒一斗五升,直錢一十五;課於三十,是為 有餘十。
據醇酒二升,直錢一十;行酒一斗八升,直錢一十八;課於三十,是為 不足二。
以盈不足術求之。
此問已有重設及其齊同之意也。
〕 今有大器五,小器一,容三斛;大器一,小器五,容二斛。
問大、小器各容 幾何?答曰:大器容二十四分斛之十三。
小器容二十四分斛之七。
術曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗;令之大器五斗五升,小器二 斗五升,不足二鬥。
〔按:大器容五斗,大器五容二斛五斗。
以減三斛,余五斗,即小器一所容。
故曰「小器亦五斗」。
小器五容二斛五斗,大器一,合為三斛。
課於兩斛,乃多 十斗。
令之大器五斗五升,大器五合容二斛七斗五升。
以減三斛,余二斗五升, 即小器一所容。
故曰小器二斗五升」。
大器一容五斗五升,小器五合容一斛二斗 五升,合為一斛八斗。
課於二斛,少二鬥。
故曰「不足二斗」。
以盈不足維乘, 除之。
〕 今有漆三得油四,油四和漆五。
今有漆三斗,欲令分以易油,還自和余漆。
問出漆、得油、和漆各幾何?答曰:出漆一斗一升四分升之一。
得油一斗五升。
和漆一斗八升四分升之三。
術曰:假令出漆九升,不足六升;令之出漆一斗二升,有餘二升。
〔按:此術三斗之漆,出九升,得油一斗二升,可和漆一斗五升,余有二斗 一升,則六升無油可和,故曰「不足六升」。
令之出漆一斗二升,則易得油一斗 六升,可和漆二鬥。
於三斗之中已出一斗二升,余有一斗八升。
見在油合和得漆 二鬥,則是有餘二升。
以盈、不足維乘之,為實。
並盈、不足為法。
實如法而一, 得出漆升數。
求油及和漆者,四、五各為所求率,三、四各為所有率,而今有之, 即得也。
〕 今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩。
今有石立方三寸,中有玉,並 重十一斤。
問玉、石重各幾何?答曰:玉一十四寸,重六斤二兩。
石一十三寸, 重四斤一十四兩。
術曰:假令皆玉,多十三兩;令之皆石,不足一十四兩。
不足為玉,多為石。
各以一寸之重乘之,得玉、石之積重。
〔立方三寸是一面之方,計積二十七寸。
玉方一寸重七兩,石方一寸重六兩, 是為玉、石重差一兩。
假令皆玉,合有一百八十九兩。
課於一十一斤,有餘一十 三兩。
玉重而石輕,故有此多。
即二十七寸之中有十三寸,寸損一兩,則以為石 重,故言多為石。
言多之數出於石以為玉。
假令皆石,合有一百六十二兩。
課於 十一斤,少十四兩,故曰不足。
此不足即以重為輕。
故令減少數於並重,即二十 七寸之中有十四寸,寸增一兩也。
〕 今有善田一畝,價三百;惡田七畝,價五百。
今並買一頃,價錢一萬。
問善、 惡田各幾何?答曰:善田一十二畝半。
惡田八十七畝半。
術曰:假令善田二十畝,惡田八十畝,多一千七百一十四錢七分錢之二;令 之善田一十畝,惡田九十畝,不足五百七十一錢七分錢之三。
〔按:善田二十畝,直錢六千;惡田八十畝,直錢五千七百一十四、七分錢 之二,課於一萬,是多一千七百一十四、七分錢之二。
令之善田十畝,直錢三千; 惡田九十畝,直錢六千四百二十八、七分錢之四;課於一萬,是為不足五百七十 一、七分錢之三。
以盈不足術求之也。
〕 今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重,適等。
一交一 易其一,金輕十三兩。
問 金、銀一枚各重幾何?答曰:金重二斤三兩一十八銖。
銀重一斤一十三兩六銖。
術曰:假令黃金三斤,白銀二斤一十一分斤之五,不足四十九,於右行。
令 之黃金二斤,白銀一斤一十一分斤之七,多一十五,於左行。
以分母各乘其行內 之數。
以盈、不足維乘所出率,並,以為實。
並盈、不足為法。
實如法,得黃金 重。
分母乘法以除,得銀重。
約之得分也。
〔按:此術假令黃金九,白銀一十一,俱重二十七斤。
金,九約之,得三斤; 銀,一十一約之,得二斤一十一分斤之五;各為金、銀一枚重數。
就金重二十七 斤之中減一金之重,以益銀,銀重二十七斤之中減一銀之重,以益金,則金重二 十六斤一十一分斤之五,銀重二十七斤一十一分斤之六。
以少減多,則金輕一十 七兩一十一分兩之五。
課於一十三兩,多四兩一十一分兩之五。
通分內子言之, 是為不足四十九。
又令之黃金九,一枚重二斤,九枚重一十八斤;白銀一十一, 亦合重一十八斤也。
乃以一十一除之,得一斤一十一分斤之七,為銀一枚之重數。
今就金重一十八斤之中減一枚金,以益銀;復減一枚銀,以益金,則金重一十七 斤一十一分斤之七,銀重一十八斤一十一分斤之四。
以少減多,即金輕一十一分 斤之八。
課於一十三兩,少一兩一十一分兩之四。
通分內子言之,是為多一十五。
以盈不足為之,如法,得金重。
分母乘法以除者,為銀兩分母,故同之。
須通法 而後乃除,得銀重。
余皆約之者,術省故也。
〕 今有良馬與駑馬發長安,至齊。
齊去長安三千里。
良馬初日行一百九十三里, 日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里。
良馬先至齊,復還迎駑馬。
問 幾何日相逢及各行幾何?答曰:一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。
良馬行四千五百三十四里一百九十一分裡之四十六。
駑馬行一千四百六十五里一 百九十一分裡之一百四十五。
術曰:假令十五日,不足三百三十七里半;令之十六日,多一百四十里。
以 盈、不足維乘假令之數,並而為實。
並盈、不足為法。
實如法而一,得日數。
不 盡者,以等數除之而命分。
求良馬行者:十四乘益疾裡數而半之,加良馬初日之 行裡數,以乘十五日,得十五日之凡行。
又以十五日乘益疾裡數,加良馬初日之 行。
以乘日分子,如日分母而一。
所得,加前良馬凡行裡數,即得。
其不盡而命 分。
求駑馬行者:以十四乘半里,又半之,以減駑馬初日之行裡數,以乘十五日, 得駑馬十五日之凡行。
又以十五日乘半里,以減駑馬初日之行,余,以乘日分子, 如日分母而一。
所得,加前裡,即駑馬定行裡數。
其奇半里者,為半法。
以半法 增殘分,即得。
其不盡者而命分。
〔按:「令十五日,不足三百三十七里半」者,據良馬十五日凡行四千二百 六十里,除先去齊三千里,定還迎駑馬一千二百六十里;駑馬十五日凡行一千四 百二里半,並良、駑二馬所行,得二千六百六十二里半。
課於三千里,少三百三 十七里半。
故曰不足。
「令之十六日,多一百四十里」者,據良馬十六日凡行四 千六百四十八里;除先去齊三千里,定還迎駑馬一千六百四十八里,駑馬十六日 凡行一千四百九十二里。
並良、駑二馬所行,得三千一百四十里。
課於三千里, 余有一百四十里。
故謂之多也。
以盈不足之,實如法而一,得日數者,即設差不 盈不朒之正數。
以二馬初日所行裡乘十五日,為一十五日平行數。
求初末益疾 減遲之數者,並一與十四,以十四乘而半之,為中平之積。
又令益疾減遲裡數乘 之,各為減益之中平裡。
故各減益平行數,得一十五日定行裡。
若求後一日,以 十六日之定行裡數乘日分子,如日分母而一,各得日分子之定行裡數。
故各並十 五日定行裡,即得。
其駑馬奇半里者,法為全裡之分,故破半里為半法,以增殘 分,即合所問也。
〕 今有人持錢之蜀賈,利十,三。
初返歸一萬四千,次返歸一萬三千,次返歸 一萬二千,次返歸一萬一千,後返歸一萬。
凡五返歸錢,本利俱盡。
問本持錢及 利各幾何?答曰:本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千 八百七十六。
利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬 六千四百一十七。
術曰:假令本錢三萬,不足一千七百三十八錢半;令之四萬,多三萬五千三 百九十錢八分。
〔按:假令本錢三萬,並利為三萬九千;除初返歸留,余,加利為三萬二千 五百;除二返歸留,余,又加利為二萬五千三百五十;除第三返歸留,余,又加 利為一萬七千三百五十五;除第四返歸留,余,又加利為八千二百六十一錢半; 除第五返歸留,合一萬錢,不足一千七百三十八錢半。
若使本錢四萬,並利為五 萬二千;除初返歸留,余,加利為四萬九千四百;除第二返歸留,余,又加利為 四萬七千三百二十;除第三返歸留,余,又加利為四萬五千九百一十六;除第四 返歸留,余,又加利為四萬五千三百九十錢八分;除第五返歸留,合一萬,余三 萬五千三百九十錢八分,故曰多。
又術:置後返歸一萬,以十乘之,十三而一,即後所持之本。
加一萬一千, 又以十乘之,十三而一,即第四返之本。
加一萬二千,又以十乘之,十三而一, 即第三返之本。
加一萬三千,又以十乘之,十三而一,即第二返之本。
加一萬四 千,又以十乘之,十三而一,即初持之本。
並五返之錢以減之,即利也。
〕 今有垣厚五尺,兩鼠對穿。
大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。
大鼠日自倍,小鼠 日自半。
問幾何日相逢?各穿幾何?答曰:二日一十七分日之二。
大鼠穿三尺四 寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
術曰:假令二日,不足五寸;令之三日,有餘三尺七寸半。
〔大鼠日倍,二日合穿三尺;小鼠日自半,合穿一尺五寸;並大鼠所穿,合 四尺五寸。
課於垣厚五尺,是為不足五寸。
令之三日,大鼠穿得七尺,小鼠穿得 一尺七寸半。
並之,以減垣厚五尺,有餘三尺七寸半。
以盈不足術求之,即得。
以後一日所穿乘日分子,如日分母而一,即各得日分子之中所穿。
故各增二日定 穿,即合所問也。
〕
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