九章算術
卷五
《》作者：張蒼
○商功（以御功程積實） 今有穿地，積一萬尺。
問為堅、壤各幾何？答曰：為堅七千五百尺；為壤一 萬二千五百尺。
術曰：穿地四為壤五， 〔壤謂息土。
〕 為堅三， 〔堅謂築土。
〕 為墟四。
〔墟謂穿坑。
此皆其常率。
〕 以穿地求壤，五之；求堅，三之；皆四而一。
〔今有術也。
〕 以壤求穿，四之；求堅，三之；皆五而一。
以堅求穿，四之；求壤，五之； 皆三而一。
〔淳風等按：此術並今有之義也。
重張穿地積一萬尺，為所有數，堅率三、 壤率五各為所求率，穿率四為所有率，而今有之，即得。
〕 城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術。
術曰：並上下廣而半之， 〔損廣補狹。
〕 以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。
〔按：此術「並上下廣而半之」者，以盈補虛，得中平之廣。
「以高若深乘 之」，得一頭之立冪。
「又以袤乘之」者，得立實之積，故為積尺。
〕 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上廣六尺，為垣積五百七十六尺。
問穿地 下廣幾何？答曰：三尺五分尺之三。
術曰：置垣積尺，四之為實。
〔穿地四，為堅三。
垣，堅也。
以堅求穿地，當四之，三而一也。
〕 以深、袤相乘， 〔為深、袤之立實也。
〕 又三之，為法。
〔以深、袤乘之立實除垣積，即坑廣。
又三之者，與堅率併除之。
〕 所得，倍之。
〔為坑有兩廣，先並而半之，即為廣狹之中平。
今先得其中平，故又倍之知， 兩廣全也。
〕 減上廣，余即下廣。
〔按：此術穿地四，為堅三。
垣即堅也。
今以堅求穿地，當四乘之，三而一。
深、袤相乘者，為深袤立冪。
以深袤立冪除積，即坑廣。
又三之，為法，與堅率 併除。
所得，倍之者，為坑有兩廣，先並而半之，為中平之廣。
今此得中平之廣， 故倍之還為兩廣並。
故減上廣，余即下廣也。
〕 今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。
問積幾何？答 曰：一百八十九萬七千五百尺： 今有垣下廣三尺，上廣二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。
問積幾何？ 答曰：六千七百七十四尺。
今有堤下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。
問積幾何？答曰： 七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺，問用徒幾何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。
術曰：以積尺為實，程功尺數為法，實如法而一，即用徒人數。
今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈。
問積幾何？答曰：四 千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，並出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。
問用徒幾何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
術曰：置本人功，去其五分之一，余為法。
〔「去其五分之一」者，謂以四乘，五除也。
〕 以溝積尺為實，實如法而一，得用徒人數。
〔按：此術「置本人功，去其五分之一」者，謂以四乘之，五而一，除去出 土之功，取其定功。
乃通分內子以為法。
以分母乘溝積尺為實者，法裡有分，實 裡通之，故實如法而一，即用徒人數。
此以一人之積尺除其眾尺，故用徒人數。
不盡者，等數約之而命分也。
〕 今有塹，上廣一丈六尺三寸，下廣一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。
問積幾何？答曰：一萬九百四十三尺八寸。
〔八寸者，謂穿地方尺，深八寸。
此積余有方尺中二分四厘五毫，棄之。
文 欲從易，非其常定也。
〕 夏程人功八百七十一尺，並出土功五分之一，沙礫水石之功作太半，定功二 百三十二尺一十五分尺之四。
問用徒幾何？答曰：四十七人三千四百八十四分人 之四百九。
術曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙礫水石之功太半，余為法。
以塹積尺為實。
實如法而一，即用徒人數。
〔按：此術「置本人功，去其出土功五分之一」者，謂以四乘，五除。
「又 去沙礫水石作太半」者，一乘，三除，存其少半，取其定功。
乃通分內子以為法。
以分母乘塹積尺為實者，為法裡有分，實裡通之，故實如法而一，即用徒人數。
不盡者，等數約之而命分也。
〕 今有穿渠，上廣一丈八尺，下廣三尺六寸，深一丈八尺，袤五萬一千八百二 十四尺。
問積幾何？答曰：一千七萬四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，問用徒幾何？答曰：三萬三千五百八十二人，功內少一十 四尺四寸。
一千人先到，問當受袤幾何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
術曰：以一人功尺數乘先到人數為實。
〔以一千人一日功為實。
立實為功。
〕 並渠上下廣而半之，以深乘之，為法。
〔以渠廣深之立實為法。
〕 實如法得袤尺。
今有方堡壔， 〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，謂以土擁木也。
〕 方一丈六尺，高一丈五尺。
問積幾何？答曰：三千八百四十尺。
術曰：方自乘，以高乘之，即積尺。
今有圓堡瑽，週四丈八尺，高一丈一尺。
問積幾何？答曰：二千一百一十二 尺。
〔於徽術，當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。
淳風等按：依密率，積二千一十六尺。
〕 術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔此章諸術亦以週三徑一為率，皆非也。
於徽術當以周自乘，以高乘之，又 以二十五乘之，三百一十四而一。
此之圓冪亦如圓田之冪也。
求冪亦如圓田，而 以高乘冪也。
淳風等按：依密率，以七乘之，八十八而一。
〕 今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。
問積幾何？答曰：一十萬一千六 百六十六尺太半尺。
術曰：上下方相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三而一。
〔此章有塹堵、一陽一馬，皆合而成立方。
蓋說算者乃立棋三品，以效高深之積。
假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。
其用棋也，中央立方一，四面塹堵四， 四角一陽一馬四。
上下方相乘為三尺，以高乘之，得積三尺，是為得中央立方一，四 面塹堵各一。
下方自乘為九，以高乘之，得積九尺。
是為中央立方一、四面塹堵 各二、四角一陽一馬各三也。
上方自乘，以高乘之，得積一尺，又為中央立方一。
凡 三品棋皆一而為三，故三而一，得積尺。
用棋之數：立方三、塹堵一陽一馬各十二， 凡二十七，棋十三。
更差次之，而成方亭者三，驗矣。
為術又可令方差自乘，以 高乘之，三而一，即四一陽一馬也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面塹堵 也。
並之，以為方亭積數也。
〕 今有圓亭，下週三丈，上週二丈，高一丈。
問積幾何？答曰：五百二十七尺 九分尺之七。
〔於徽術，當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。
淳風等按：依密率，為積五百三尺三十三分尺之二十六。
〕 術曰：上下周相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三十六而一。
〔此術週三徑一之義。
合以三除上下周，各為上下徑。
以相乘，又各自乘， 並，以高乘之，三而一，為方亭之積。
假令三約上下周俱不盡，還通之，即各為 上下徑。
令上下徑相乘，又各自乘，並，以高乘之，為三方亭之積分。
此合分母 三相乘得九，為法，除之。
又三而一，得方亭之積。
從方亭求圓亭之積，亦猶方 冪中求圓冪。
乃令圓率三乘之，方率四而一，得圓亭之積。
前求方亭之積，乃以 三而一；今求圓亭之積，亦合三乘之。
二母既同，故相準折，惟以方冪四乘分母 九，得三十六，而連除之。
於徽術，當上下周相乘，又各自乘，並，以高乘之， 又二十五乘之，九百四十二而一。
此方亭四角圓殺，比於方亭，二百分之一百五 十七。
為術之意，先作方亭，三而一。
則此據上下徑為之者，當又以一百五十七 乘之，六百而一也。
今據周為之，若於圓堡忭，又以二十五乘之，三百一十四而 一，則先得三圓亭矣。
故以三百一十四為九百四十二而一，併除之。
淳風等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。
〕 今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺。
問積幾何？答曰：七千四十七尺。
術曰：下方自乘，以高乘之，三而一。
〔按：此術假令方錐下方二尺，高一尺，即四一陽一馬。
如術為之，用十二一陽一馬 成三方錐。
故三而一，得方錐也。
〕 今有圓錐，下週三丈五尺，高五丈一尺。
問積幾何？答曰：一千七百三十五 尺一十二分尺之五。
〔於徽術，當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。
淳風等按：依密率，為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。
〕 術曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔按：此術圓錐下周以為方錐下方。
方錐下方令自乘，以高乘之，令三而一， 得大方錐之積。
大錐方之積合十二圓矣。
今求一圓，復合十二除之，故令三乘十 二，得三十六，而連除。
於徽術，當下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九 百四十二而一。
圓錐比於方錐亦二百分之一百五十七。
令逕自乘者，亦當以一百 五十七乘之，六百而一。
其說如圓亭也。
淳風等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。
〕 今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。
問積幾何？答曰：四 萬六千五百尺。
術曰：廣袤相乘，以高乘之，二而一。
〔邪解立方，得兩塹堵。
雖復橢方，亦為塹堵。
故二而一。
此則合所規棋。
推其物體，蓋為塹上疊也。
其形如城，而無上廣，與所規棋形異而同實。
未聞所 以名之為塹堵之說也。
〕 今有一陽一馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。
問積幾何？答曰：九十三尺少半尺。
術曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一。
〔按：此術一陽一馬之形，方錐一隅也。
今謂四柱屋隅為一陽一馬。
假令廣袤各一尺， 高一尺，相乘，得立方積一尺。
邪解立方，得兩塹堵；邪解塹堵，其一為一陽一馬， 一為鱉臑。
一陽一馬居二，鱉臑居一，不易之率也。
合兩鱉臑成一一陽一馬，合三一陽一馬而 成一立方，故三而一。
驗之以棋，其形露矣。
悉割一陽一馬，凡為六鱉臑。
觀其割分， 則體勢互通，蓋易了也。
其棋或修短、或廣狹、立方不等者，亦割分以為六鱉臑。
其形不悉相似。
然見數同，積實均也。
鱉臑殊形，一陽一馬異體。
然一陽一馬異體，則不 純合。
不純合，則難為之矣。
何則？按：邪解方棋以為塹堵者，必當以半為分； 邪解塹堵以為一陽一馬者，亦必當以半為分，一從一橫耳。
設以一陽一馬為分內，鱉臑為 分外。
棋雖或隨修短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者，以此而已。
其使鱉臑廣、袤、高各二尺，用塹堵、鱉臑之棋各二，皆用赤棋。
又使一陽一馬之廣、 袤、高各二尺，用立方之棋一，塹堵、一陽一馬之棋各二，皆用黑棋。
棋之赤、黑， 接為塹堵，廣、袤、高各二尺。
於是中攽其廣、袤，又中分其高。
令赤、黑塹堵 各自適當一方，高一尺，方一尺，每二分鱉臑，則一一陽一馬也。
其餘兩端各積本體， 合成一方焉。
是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一。
雖方隨棋改，而固 有常然之勢也。
按：餘數具而可知者有一、二分之別，則一、二之為率定矣。
其 於理也豈虛矣。
若為數而窮之，置余廣、袤、高之數，各半之，則四分之三又可 知也。
半之彌少，其餘彌細，至細曰微，微則無形。
由是言之，安取余哉？數而 求窮之者，謂以情推，不用籌算。
鱉臑之物，不同器用；一陽一馬之形，或隨修短廣 狹。
然不有鱉臑，無以審一陽一馬之數，不有一陽一馬，無以知錐亭之數，功實之主也。
〕 今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺。
問積幾何？答曰： 二十三尺少半尺。
術曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一。
〔按：此術臑者，臂節也。
或曰：半一陽一馬，其形有似鱉肘，故以名雲。
中破 一陽一馬，得兩鱉臑。
鱉臑之見數即一陽一馬之半數。
數同而實據半，故雲六而一，即得。
〕 今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺；末廣八尺，無深；袤七尺。
問積 幾何？答曰：八十四尺。
術曰：並三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一。
〔按：此術羨除，實隧道也。
其所穿地，上平下邪，似兩鱉臑夾一塹堵，即 羨除之形。
假令用此棋：上廣三尺，深一尺，下廣一尺；末廣一尺，無深；袤一 尺。
下廣、末廣皆塹堵之廣。
上廣者，兩鱉臑與一塹堵相連之廣也。
以深、袤乘， 得積五尺。
鱉臑居二，塹堵居三，其於本棋皆一為六，故六而一。
合四一陽一馬以為 方錐。
邪畫方錐之底，亦令為中方。
就中方削而上合，全為中方錐之半。
於是一陽一 馬之棋悉中解矣。
中錐離而為四鱉臑焉。
故外錐之半亦為四鱉臑。
雖背正異形， 與常所謂鱉臑參不相似，實則同也。
所云夾塹堵者，中錐之鱉臑也。
凡塹堵上袤 短者，連一陽一馬也。
下袤短者，與鱉臑連也。
上、下兩袤相等知，亦與鱉臑連也。
並三廣，以高、袤乘，六而一，皆其積也。
今此羨除之廣即塹堵之袤也。
按： 此本是三廣不等，即與鱉臑連者。
別而言之：中央塹堵廣六尺，高三尺，袤七尺。
末廣之兩旁，各一小鱉臑，皆與塹堵等。
令小鱉臑居裡，大鱉臑居表，則大鱉臑 皆出橢方錐：下廣二尺，袤六尺，高七尺。
分取其半，則為袤三尺。
以高、廣乘 之，三而一，即半錐之積也。
邪解半錐得此兩大鱉臑。
求其積，亦當六而一，合 於常率矣。
按：一陽一馬之棋兩邪，棋底方。
當其方也，不問旁角而割之，相半可知 也。
推此上連無成不方，故方錐與一陽一馬同實。
角而割之者，相半之勢。
此大小鱉 臑可知更相表裡，但體有背正也。
〕 今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈。
問積幾何？答曰： 五千尺。
術曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。
〔推明義理者：舊說云：「凡積芻有上下廣曰童，甍，謂其屋蓋之苫也。」
是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等。
正解方亭兩邊，合之即芻甍之形也。
假令 下廣二尺，袤三尺；上袤一尺，無廣；高一尺。
其用棋也，中央塹堵二，兩端一陽一 馬各二。
倍下袤，上袤從之，為七尺。
以下廣乘之，得冪十四尺。
一陽一馬之冪各居 二，塹堵之冪各居三。
以高乘之，得積十四尺。
其於本棋也，皆一而為六。
故六 而一，即得。
亦可令上下袤差乘廣，以高乘之，三而一，即四一陽一馬也；下廣乘上 袤而半之，高乘之，即二塹堵；並之，以為甍積也。
〕 芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術。
術曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之，並，以高 若深乘之，皆六而一。
〔按：此術假令芻童上廣一尺，袤二尺；下廣三尺，袤四尺；高一尺。
其用 棋也，中央立方二，四面塹堵六，四角一陽一馬四。
倍下袤為八，上袤從之，為十， 以高、廣乘之，得積三十尺。
是為得中央立方各三，兩端塹堵各四，兩旁塹堵各 六，四角一陽一馬亦各六。
復倍上袤，下袤從之，為八，以高、廣乘之，得積八尺。
是為得中央立方亦各三，兩端塹堵各二。
並兩旁，三品棋皆一而為六。
故六而一， 即得。
為術又可令上下廣袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四一陽一馬；上下廣袤 互相乘，並，而半之，以高乘之，即四面六塹堵與二立方；並之，為芻童積。
又 可令上下廣袤互相乘而半之，上下廣袤又各自乘，並，以高乘之，三而一，即得 也。
〕 其曲池者，並上中、外周而半之，以為上袤；亦並下中、外周而半之，以為 下袤。
〔此池環而不通匝，形如盤蛇，而曲之。
亦云周者，謂如委谷依垣之周耳。
引而伸之，周為袤。
求袤之意，環田也。
〕 今有芻童，下廣二丈，袤三丈；上廣三丈，袤四丈；高三丈。
問積幾何？答 曰：二萬六千五百尺。
今有曲池，上中週二丈，外週四丈，廣一丈；下中週一丈四尺，外週二丈四 尺，廣五尺；深一丈。
問積幾何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盤池，上廣六丈，袤八丈；下廣四丈，袤六丈，深二丈。
問積幾何？答 曰：七萬六百六十六尺太半尺。
負土往來七十步，其二十步上下棚除，棚除二當平道五；踟躕之間十加一； 載輸之間三十步，定一返一百四十步。
土籠積一尺六寸。
秋程人功行五十九里半。
問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百四尺。
用徒三百四十六人一百五十三 分人之六十二。
術曰：以一籠積尺乘程行步數，為實。
往來上下棚除二當平道五。
〔棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當五也。
〕 置定往來步數，十加一，及載輸之間三十步，以為法。
除之，所得即一人所 到尺。
以所到約積尺，即用徒人數。
〔按：此術棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當五。
置定往來步數， 十加一，及載輸之間三十步，是為往來一返凡用一百四十步。
於今有術為所有率， 籠積一尺六寸為所求率，程行五十九里半為所有數，而今有之，即所到尺數。
以 所到約積尺，即用徒人數者，此一人之積除其眾積尺，故得用徒人數。
為術又 可令往來一返所用之步約程行為返數，乘籠積為一人所到。
以此術與今有術相 反覆，則乘除之或先後，意各有所在而同歸耳。
〕 今有冥谷，上廣二丈，袤七丈；下廣八尺，袤四丈；深六丈五尺。
問積幾何？ 答曰：五萬二千尺。
載土往來二百步，載輸之間一里。
程行五十八里；六人共車，車載三十四尺 七寸。
問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。
用徒二 百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。
術曰：以一車積尺乘程行步數，為實。
置今往來步數，加載輸之間一里，以 車六人乘之，為法。
除之，所得即一人所到尺。
以所到約積尺，即用徒人數。
〔按：此術今有之義。
以載輸及往來並得五百步，為所有率，車載三十四尺 七寸為所求率，程行五十八里，通之為步，為所有數，而今有之，所得即一車所 到。
欲得人到者，當以六人除之，即得。
術有分，故亦更令乘法而併除者，亦用 以車尺數以為一人到土率，六人乘五百步為行率也。
又亦可五百步為行率，令六 人約車積尺數為一人到土率，以負土術入之。
入之者，亦可求返數也。
要取其會 通而已。
術恐有分，故令乘法而併除。
以所到約積尺，即用徒人數者，以一人所 到積尺除其眾積，故得用徒人數也。
〕 今有委粟平地，下週一十二丈，高二丈。
問積及為粟幾何？答曰：積八千尺。
〔於徽術，當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。
淳風等按：依密率，為積七千六百三十六尺十一分尺之四。
〕 為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。
〔於徽術，當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。
淳風等按：依密率，為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。
〕 今有委菽依垣，下週三丈，高七尺。
問積及為菽各幾何？答曰：積三百五十 尺。
〔依徽術，當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。
淳風等按：依密率，為積三百三十四尺十一分尺之一。
〕 為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。
〔依徽術，當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。
淳風等按：依密率，為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。
〕 今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。
問積及為米各幾何？答曰：積三十 五尺九分尺之五。
〔於徽術，當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。
淳風等按：依密率，當積三十三尺三十三分尺之三十一。
〕 為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。
〔於徽術，當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。
淳風等按：依密率，為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。
〕 委粟術曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔此猶圓錐也。
於徽術，亦當下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百 四十二而一也。
〕 其依垣者， 〔居圓錐之半也。
〕 十八而一。
〔於徽術，當令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。
依垣之周，半於全周。
其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一，故半全周之法以為 法也。
〕 其依垣內角者， 〔角，隅也，居圓錐四分之一也。
〕 九而一。
〔於徽術，當令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七 十一而一。
依隅之周，半於依垣。
其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一，當半依 垣之法以為法。
法不可半，故倍其實。
又此術亦用週三徑一之率。
假令以三除周， 得徑；若不盡，通分內子，即為徑之積分。
令自乘，以高乘之，為三方錐之積分。
母自相乘得九，為法，又當三而一，得方錐之積。
從方錐中求圓錐之積，亦猶方 冪求圓冪。
乃當三乘之，四而一，得圓錐之積。
前求方錐積，乃以三而一；今求 圓錐之積，復合三乘之。
二母既同，故相準折。
惟以四乘分母九，得三十六而連 除，圓錐之積。
其圓錐之積與平地聚粟同，故三十六而一。
淳風等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百 三十二而一；依隅者，六十六而一也。
〕 程粟一斛積二尺七寸； 〔二尺七寸者，謂方一尺，深二尺七寸，凡積二千七百寸。
〕 其米一斛積一尺六寸五分寸之一； 〔謂積一千六百二十寸。
〕 其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三。
〔謂積二千四百三十寸。
此為以一精一粗為率，而不等其概也。
粟率五，米率三， 故米一斛於粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麥亦如本率雲。
故謂此三量器為概， 而皆不合於今斛。
當今大司農斛，圓徑一尺三寸五分五厘，正深一尺，於徽術， 為積一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。
王莽銅斛於今尺為深九寸 五分五厘，逕一尺三寸六分八厘七毫。
以徽術計之，於今斛為容九斗七升四合有 奇。
《周官·考工記》：朅氏為量，深一尺，內方一尺而圓外，其實一釜。
於徽 術，此圓積一千五百七十寸。
《左氏傳》曰：「齊舊四量：豆、區、釜、鐘。
四 升曰豆，各自其四，以登於釜。
釜十則鐘。」
鍾六斛四斗。
釜六斗四升，方一尺， 深一尺，其積一千寸。
若此方積容六斗四升，則通外圓積成旁，容十斗四合一龠 五分龠之三也。
以數相乘之，則斛之制：方一尺而圓其外，庣旁一厘七毫，冪一 百五十六寸四分寸之一，深一尺，積一千五百六十二寸半，容十斗。
王莽銅斛與 《漢書·律歷志》所論斛同。
〕 今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛。
問高幾何？答曰：二丈。
術曰：置粟一萬斛積尺為實。
廣、袤相乘為法。
實如法而一，得高尺。
〔以廣袤之冪除積，故得高。
按：此術本以廣袤相乘，以高乘之，得此積。
今還元，置此廣袤相乘為法，除之，故得高也。
〕 今有圓囷， 〔圓囷，廩也，亦云圓囤也。
〕 高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。
問周幾何？答曰：五丈四尺。
〔於徽術，當週五丈五尺二寸二十分寸之九。
淳風等按：依密率，為週五丈五尺一百分尺之二十七。
〕 術曰：置米積尺， 〔此積猶圓堡忭之積。
〕 以十二乘之，令高而一。
所得，開方除之，即周。
〔於徽術，當置米積尺，以三百一十四乘之，為實。
二十五乘囷高為法。
所 得，開方除之，即周也。
此亦據見冪以求周，失之於微少也。
晉武庫中有漢時王 莽所作銅斛，其篆書字題斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圓其外，庣旁九厘五毫， 冪一百六十二寸；深一尺，積一千六百二十寸，容十斗。
及斛底云：律嘉量斗， 方尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪一尺六寸二分。
深一寸，積一百六十二寸，容 一鬥。
合、龠皆有文字。
升居斛旁，合、龠在斛耳上。
後有贊文，與今律歷志同， 亦魏晉所常用。
今粗疏王莽銅斛文字、尺、寸、分數，然不盡得升、合、勺之文 字。
按：此術本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此積。
今還元，置此積，以 十二乘之，令高而一，即復本周自乘之數。
凡物自乘，開方除之，復其本數。
故 開方除之，即得也。
淳風等按：依密率，以八十八乘之，為實。
七乘囷高為法。
實如法而一。
開 方除之，即周也。
〕
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