《九章算術》卷九:○句股(以御高深廣遠) 今有句三尺,股四尺

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《九章算術》卷九

九章算術

卷九

《》作者:張蒼

○句股(以御高深廣遠) 今有句三尺,股四尺,問為弦幾何?答曰:五尺。

今有弦五尺,句三尺,問為股幾何?答曰:四尺。

今有股四尺,弦五尺,問為句幾何?答曰:三尺。

句股 〔短面曰句,長面曰股,相與結角曰弦。

句短其股,股短其弦。

將以施於諸 率,故先具此術以見其源也。

〕 術曰:句、股各自乘,並,而開方除之,即弦。

〔句自乘為朱方,股自乘為青方。

令出入相補,各從其類,因就其餘不移動 也,合成弦方之冪。

開方除之,即弦也。

〕 又,股自乘,以減弦自乘。

其餘,開方除之,即句。

〔淳風等按:此術以句、股冪合成弦冪。

句方於內,則句短於股。

令股自乘, 以減弦自乘,餘者即句冪也。

故開方除之,即句也。

〕 又,句自乘,以減弦自乘。

其餘,開方除之,即股。

〔句、股冪合以成弦冪,令去其一,則余在者皆可得而知之。

〕 今有圓材,逕二尺五寸。

欲為方版,令厚七寸,問廣幾何?答曰:二尺四寸。

術曰:令徑二尺五寸自乘,以七寸自乘,減之。

其餘,開方除之,即廣。

〔此以圓徑二尺五寸為弦,版厚七寸為句,所求廣為股也。

〕 今有木長二丈,圍之三尺。

葛生其下,纏木七周,上與木齊。

問葛長几何? 答曰:二丈九尺。

術曰:以七周乘圍為股,木長為句,為之求弦。

弦者,葛之長。

〔據圍廣,求從為木長者其形葛捲裹袤。

以筆管,青線宛轉,有似葛之纏木。

解而觀之,則每週之間自有相間成句股弦。

則其間葛長,弦。

七周乘圍,併合眾 句以為一句;木長而股,短;術雲木長謂之股,言之倒。

句與股求弦,亦無圍。

弦之自乘冪出上第一圖。

句、股冪合為弦冪,明矣。

然二冪之數謂倒在於弦冪之 中而已。

可更相表裡,居裡者則成方冪,其居表者則成矩冪。

二表裡形訛而數均。

又按:此圖句冪之矩青,卷白表,是其冪以股弦差為廣,股弦並為袤,而股冪方 其裡。

股冪之矩青,卷白表,是其冪以句弦差為廣,句弦並為袤,而句冪方其裡。

是故差之與並用除之,短、長互相乘也。

〕 今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺。

引葭赴岸,適與岸齊。

問水深、葭 長各幾何?答曰:水深一丈二尺。

葭長一丈三尺。

術曰:半池方自乘, 〔此以池方半之,得五尺為句;水深為股;葭長為弦。

以句、弦見股,故令 句自乘,先見矩冪也。

〕 以出水一尺自乘,減之。

〔出水者,股弦差。

減此差冪於矩冪則除之。

〕 余,倍出水除之,即得水深。

〔差為矩冪之廣,水深是股。

令此冪得出水一尺為長,故為矩而得葭長也。

〕 加出水數,得葭長。

〔淳風等按:此葭本出水一尺,既見水深,故加出水尺數而得葭長也。

〕 今有立木,系索其末,委地三尺。

引索卻行,去本八尺而索盡。

問索長几何? 答曰:一丈二尺六分尺之一。

術曰:以去本自乘, 〔此以去本八尺為句,所求索者,弦也。

引而索盡、開門去閫者,句及股弦 差,同一術。

去本自乘者,先張矩冪。

〕 令如委數而一。

〔委地者,股弦差也。

以除矩冪,即是股弦並也。

〕 所得,加委地數而半之,即索長。

〔子不可半者,倍其母。

加差者並,則兩長。

故又半之。

其減差者並,而半 之,得木長也。

〕 今有垣高一丈,倚木於垣,上與垣齊。

引木卻行一尺,其木至地。

問木長几 何?答曰:五丈五寸。

術曰:以垣高一十尺自乘,如卻行尺數而一。

所得,以加卻行尺數而半之, 即木長數。

〔此以垣高一丈為句,所求倚木者為弦,引卻行一尺為股弦差。

為術之意與 系索問同也。

〕 今有圓材埋在壁中,不知大小。

以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺。

問徑幾何? 答曰:材徑二尺六寸。

術曰:半鋸道自乘, 〔此術以鋸道一尺為句,材徑為弦,鋸深一寸為股弦差之一半。

鋸道長是半 也。

淳風等按:下鋸深得一寸為半股弦差。

注雲為股差差者,鋸道也。

〕 如深寸而一,以深寸增之,即材徑。

〔亦以半增之。

如上術,本當半之,今此皆同半,故不復半也。

〕 今有開門去閫一尺,不合二寸。

問門廣幾何?答曰:一丈一寸。

術曰:以去閫一尺自乘。

所得,以不合二寸半之而一。

所得,增不合之半, 即得門廣。

〔此去閫一尺為句,半門廣為弦,不合二寸以半之,得一寸為股弦差。

求弦, 故當半之。

今次以兩弦為廣數,故不復半之也。

〕 今有戶高多於廣六尺八寸,兩隅相去適一丈。

問戶高、廣各幾何?答曰:廣 二尺八寸。

高九尺六寸。

術曰:令一丈自乘為實。

半相多,令自乘,倍之,減實。

半其餘,以開方除 之。

所得,減相多之半,即戶廣;加相多之半,即戶高。

〔令戶廣為句,高為股,兩隅相去一丈為弦,高多於廣六尺八寸為句股差。

按圖為位,弦冪適滿萬寸。

倍之,減句股差冪,開方除之。

其所得即高廣並數。

以差減並而半之,即戶廣。

加相多之數,即戶高也。

今此術先求其半。

一丈自乘 為朱冪四、黃冪一。

半差自乘,又倍之,為黃冪四分之二,減實,半其餘,有朱 冪二、黃冪四分之一。

其於大方者四分之一。

故開方除之,得高廣並數半。

減差 半,得廣;加,得戶高。

又按:此圖冪:句股相並冪而加其差冪,亦減弦冪,為 積。

蓋先見其弦,然後知其句與股。

今適等,自乘,亦各為方,合為弦冪。

令半 相多而自乘,倍之,又半並自乘,倍之,亦合為弦冪。

而差數無者,此各自乘之, 而與相乘數,各為門實。

及股長句短,同源而分流焉。

假令句、股各五,弦冪五 十,開方除之,得七尺,有餘一,不盡。

假令弦十,其冪有百,半之為句、股二 冪,各得五十,當亦不可開。

故曰:圓三、徑一,方五、斜七,雖不正得盡理, 亦可言相近耳。

其句股合而自相乘之冪者,令弦自乘,倍之,為兩弦冪,以減之, 其餘,開方除之,為句股差。

加於合而半,為股;減差於合而半之,為句。

句、 股、弦即高、廣、邪。

其出此圖也,其倍弦為袤。

令矩句即為冪,得廣即句股差。

其矩句之冪,倍句為從法,開之亦句股差。

以句股差冪減弦冪,半其餘,差為從 法,開方除之,即句也。

〕 今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。

問折者高幾何?答曰:四尺二十分尺 之一十一。

術曰:以去本自乘, 〔此去本三尺為句,折之餘高為股,以先令句自乘之冪。

〕 令如高而一。

〔凡為高一丈為股弦並,以除此冪得差。

〕 所得,以減竹高而半余,即折者之高也。

〔此術與系索之類更相反覆也。

亦可如上術,令高自乘為股弦並冪,去本自 乘為矩冪,減之,余為實。

倍高為法,則得折之高數也。

〕 今有二人同所立,甲行率七,乙行率三。

乙東行,甲南行十步而斜東北與乙 會。

問甲、乙行各幾何?答曰:乙東行一十步半,甲斜行一十四步半及之。

術曰:令七自乘,三亦自乘,並而半之,以為甲斜行率。

斜行率減於七自乘, 余為南行率。

以三乘七為乙東行率。

〔此以南行為句,東行為股,斜行為弦,並句弦率七。

欲引者,當以股率自 乘為冪,如並而一,所得為句弦差率。

加並之半為弦率,以差率減,余為句率。

如是或有分,當通而約之乃定。

術以同使無分母,故令句弦並自乘為朱、黃相連 之方。

股自乘為青冪之矩,以句弦並為袤,差為廣。

今有相引之直,加損同上。

其圖大體以兩弦為袤,句弦並為廣。

引黃斷其半為弦率。

列用率七自乘者,句弦 並之率。

故弦減之,余為句率。

同立處是中停也,皆句弦並為率,故亦以句率同 其袤也。

〕 置南行十步,以甲斜行率乘之;副置十步,以乙東行率乘之;各自為實。

實 如南行率而一,各得行數。

〔南行十步者,所有見句求見弦、股,故以弦、股率乘,如句率而一。

〕 今有句五步,股十二步。

問句中容方幾何?答曰:方三步十七分步之九。

術曰:並句、股為法,句、股相乘為實。

實如法而一,得方一步。

〔句、股相乘為朱、青、黃冪各二。

令黃冪袤於隅中,朱、青各以其類,令 從其兩徑,共成修之冪:中方黃為廣,並句、股為袤。

故並句、股為法。

冪圖: 方在句中,則方之兩廉各自成小句股,而其相與之勢不失本率也。

句面之小句、 股,股面之小句、股各並為中率,令股為中率,並句、股為率,據見句五步而今 有之,得中方也。

復令句為中率,以並句、股為率,據見股十二步而今有之,則 中方又可知。

此則雖不效而法,實有法由生矣。

下容圓率而似今有、衰分言之, 可以見之也。

〕 今有句八步,股一十五步。

問句中容圓徑幾何?答曰:六步。

術曰:八步為句,十五步為股,為之求弦。

三位並之為法。

以句乘股,倍之 為實。

實如法,得徑一步。

〔句、股相乘為圖本體,朱、青、黃冪各二。

倍之,則為各四。

可用畫於小 紙,分裁邪正之會,令顛倒相補,各以類合,成修冪:圓徑為廣,並句、股、弦 為袤。

故並句、股、弦以為法。

又以圓大體言之,股中青必令立規於橫廣,句、 股又邪三徑均。

而復連規,從橫量度句、股,必合而成小方矣。

又畫中弦以規 除會,則句、股之面中央小句股弦:句之小股、股之小句皆小方之面,皆圓徑之 半。

其數故可衰。

以句、股、弦為列衰,副並為法。

以句乘未並者,各自為實。

實如法而一,得句面之小股可知也。

以股乘列衰為實,則得股面之小句可知。

言 雖異矣,及其所以成法之實,則同歸矣。

則圓徑又可以表之差並:句弦差減股 為圓徑;又,弦減句股並,余為圓徑;以句弦差乘股弦差而倍之,開方除之,亦 圓徑也。

〕 今有邑方二百步,各中開門。

出東門一十五步有木。

問出南門幾何步而見木? 答曰:六百六十六步大半步。

術曰:出東門步數為法, 〔以句率為法也。

〕 半邑方自乘為實,實如法得一步。

〔此以出東門十五步為句率,東門南至隅一百步為股率,南門東至隅一百步 為見句步。

欲以見句求股,以為出南門數。

正合半邑方自乘者,股率當乘見句, 此二者數同也。

〕 今有邑東西七里,南北九里,各中開門。

出東門一十五里有木。

問出南門幾 何步而見木?答曰:三百一十五步。

術曰:東門南至隅步數,以乘南門東至隅步數為實。

以木去門步數為法。

實 如法而一。

〔此以東門南至隅四里半為句率,出東門一十五里為股率,南門東至隅三里 半為見股。

所問出南門即見股之句。

為術之意,與上同也。

〕 今有邑方不知大小,各中開門。

出北門三十步有木,出西門七百五十步見木。

問邑方幾何?答曰:一里。

術曰:令兩出門步數相乘,因而四之,為實。

開方除之,即得邑方。

〔按:半邑方,令半方自乘,出門除之,即步。

令二出門相乘,故為半方邑 自乘,居一隅之積分。

因而四之,即得四隅之積分。

故為實,開方除,即邑方也。

〕 今有邑方不知大小,各中開門。

出北門二十步有木,出南門一十四步,折而 西行一千七百七十五步見木。

問邑方幾何?答曰:二百五十步。

術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之,為實。

〔此以折而西行為股,自木至邑南一十四步為句,以出北門二十步為句率, 北門至西隅為股率,半廣數。

故以出北門乘折西行股,以股率乘句之冪。

然此冪 居半,以西行。

故又倍之,合東,盡之也。

〕 並出南、北門步數,為從法,開方除之,即邑方。

〔此術之冪,東西如邑方,南北自木盡邑南十四步之冪,各南北步為廣,邑 方為袤,故連兩廣為從法,並,以為隅外之冪也。

〕 今有邑方一十里,各中開門。

甲、乙俱從邑中央而出:乙東出;甲南出,出 門不知步數,邪向東北,磨邑隅,適與乙會。

率:甲行五,乙行三。

問甲、乙行 各幾何?答曰:甲出南門八百步,邪東北行四千八百八十七步半,及乙。

乙東行 四千三百一十二步半。

術曰:令五自乘,三亦自乘,並而半之,為邪行率;邪行率減於五自乘者, 余為南行率;以三乘五為乙東行率。

〔求三率之意與上甲乙同。

〕 置邑方,半之,以南行率乘之,如東行率而一,即得出南門步數。

〔今半方,南門東至隅五里。

半邑者,謂為小股也。

求以為出南門步數。

故 置邑方,半之,以南行句率乘之,如股率而一。

〕 以增邑方半,即南行。

〔半邑者,謂從邑心中停也。

〕 置南行步,求弦者,以邪行率乘之;求東行者,以東行率乘之,各自為實。

實如法,南行率,得一步。

〔此術與上甲乙同。

〕 今有木去人不知遠近。

立四表,相去各一丈,令左兩表與所望參相直。

從後 右表望之,入前右表三寸。

問木去人幾何?答曰:三十三丈三尺三寸少半寸。

術曰:令一丈自乘為實,以三寸為法,實如法而一。

〔此以入前右表三寸為句率,右兩表相去一丈為股率,左右兩表相去一丈為 見句。

所問木去人者,見句之股。

股率當乘見句,此二率俱一丈,故曰自乘之。

以三寸為法。

實如法得一寸。

〕 今有山居木西,不知其高。

山去木五十三里,木高九丈五尺。

人立木東三里, 望木末適與山峰斜平。

人目高七尺。

問山高幾何?答曰:一百六十四丈九尺六寸 太半寸。

術曰:置木高,減人目高七尺, 〔此以木高減人目高七尺,余有八丈八尺,為句率;去人目三里為股率;山 去木五十三里為見股,以求句。

加木之高,故為山高也。

〕 余,以乘五十三里為實。

以人去木三里為法。

實如法而一。

所得,加木高, 即山高。

〔此術句股之義。

〕 今有井,逕五尺,不知其深。

立五尺木於井上,從木末望水岸,入徑四寸。

問井深幾何?答曰:五丈七尺五寸。

術曰:置井徑五尺,以入徑四寸減之,余,以乘立木五尺為實。

以入徑四寸 為法。

實如法得一寸。

〔此以入徑四寸為句率,立木五尺為股率,井徑之餘四尺六寸為見句。

問井 深者,見句之股也。

〕 今有戶不知高、廣,竿不知長短。

橫之不出四尺,從之不出二尺,邪之適出。

問戶高、廣、邪各幾何?答曰:廣六尺。

高八尺。

邪一丈。

術曰:從、橫不出相乘,倍,而開方除之。

所得,加從不出,即戶廣; 〔此以戶廣為句,戶高為股,戶邪為弦。

凡句之在股,或矩於表,或方於裡。

連之者舉表矩而端之。

又從句方里令為青矩之表,未滿黃方。

滿此方則兩端之邪 重於隅中,各以股弦差為廣,句弦差為袤。

故兩端差相乘,又倍之,則成黃方之 冪。

開方除之,得黃方之面。

其外之青知,亦以股弦差為廣。

故以股弦差加,則 為句也。

〕 加橫不出,即戶高;兩不出加之,得戶邪。

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