九章算術
卷六
《》作者：張蒼
○均輸（以御遠近勞費） 今有均輸粟，甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一 萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。
凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘。
欲以道裡遠近、戶數多少衰出之，問粟、 車各幾何？答曰：甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。
乙縣粟六萬三 千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。
丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千 五百二十七乘。
丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。
術曰：令縣戶數各如其本行道日數而一，以為衰。
〔按：此均輸，猶均運也。
令戶率出車，以行道日數為均，發粟為輸。
據甲 行道八日，因使八戶共出一車；乙行道十日，因使十戶共出一車。
計其在道，則 皆戶一日出一車，故可為均平之率也。
淳風等按：縣戶有多少之差，行道有遠近之異。
欲其均等，故各令行道日數 約戶為衰。
行道多者少其戶，行道少者多其戶。
故各令約戶為衰。
以八日約除甲 縣，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。
於今有術，副並為所有率。
未 並者各為所求率，以賦粟車數為所有數，而今有之，各得車數。
一旬除乙，十三 除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。
〕 甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副並為法。
以賦粟車數 乘未並者，各自為實。
〔衰，分科率。
〕 實如法得一車。
〔各置所當出車，以其行道日數乘之，如戶數而一，得率：戶用車二日四十 七分日之三十一，故謂之均。
求此戶以率，當各計車之衰分也。
〕 有分者，上下輩之。
〔輩，配也。
車、牛、人之數不可分裂，推少就多，均賦之宜。
今按：甲分 既少，宜從於乙。
滿法除之，有餘從丙。
丁分又少，亦宜就丙。
除之適盡。
加乙、 丙各一，上下輩益，以少從多也。
〕 以二十五斛乘車數，即粟數。
今有均輸卒：甲縣一千二百人，薄塞；乙縣一千五百五十人，行道一日；丙 縣一千二百八十人，行道二日；丁縣九百九十人，行道三日；戊縣一千七百五十 人，行道五日。
凡五縣賦輸卒一月一千二百人。
欲以遠近、人數多少衰出之，問 縣各幾何？答曰：甲縣二百二十九人。
乙縣二百八十六人。
丙縣二百二十八人。
丁縣一百七十一人。
戊縣二百八十六人。
術曰：令縣卒各如其居所及行道日數而一，以為衰。
〔按：此亦以日數為均，發卒為輸。
甲無行道日，但以居所三十日為率。
言 欲為均平之率者，當使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人。
出一人者，計 役則皆一人一日，是以可為均平之率。
〕 甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副並為法。
以人數乘未並者各 自為實。
實如法而一。
〔為衰，於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，以賦卒人數為所有 數。
此術以別，考則意同，以廣異聞，故存之也。
各置所當出人數，以其居所及 行道日數乘之，如縣人數而一。
得率：人役五日七分日之五。
〕 有分者，上下輩之。
〔輩，配也。
今按：丁分最少，宜就戊除。
不從乙者，丁近戊故也。
滿法除 之，有餘從乙。
丙分又少，亦就乙除，有餘從甲。
除之適盡。
從甲、丙二分，其 數正等，二者於乙遠近皆同，不以甲從乙者，方以下從上也。
〕 今有均賦粟：甲縣二萬五百二十戶，粟一斛二十錢，自輸其縣；乙縣一萬二 千三百一十二戶，粟一斛一十錢，至輸所二百里；丙縣七千一百八十二戶，粟一 斛一十二錢，至輸所一百五十里；丁縣一萬三千三百三十八戶，粟一斛一十七錢， 至輸所二百五十里；戊縣五千一百三十戶，粟一斛一十三錢，至輸所一百五十里。
凡五縣賦輸粟一萬斛。
一車載二十五斛，與僦一里一錢。
欲以縣戶賦粟，令費勞 等，問縣各粟幾何？答曰：甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一 十七。
乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。
丙縣一千三百 八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。
丁縣一千七百一十九斛二千八 百七十三分斛之一千三百一十三。
戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千 二百五十三。
術曰：以一里僦價乘至輸所裡， 〔此以出錢為均也。
問者曰：「一車載二十五斛，與僦一里一錢。」
一錢， 即一里僦價也。
以乘裡數者，欲知僦一車到輸所所用錢也。
甲自輸其縣，則無取 僦價也。
〕 以一車二十五斛除之， 〔欲知僦一斛所用錢。
〕 加一斛粟價，則致一斛之費。
〔加一斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢也：甲一斛之費二十，乙、丙各 十八，丁二十七，戊十九也。
〕 各以約其戶數，為衰。
〔言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛。
計其所費，則皆戶一錢， 故可為均賦之率也。
計經賦之率，既有戶算之率，亦有遠近、貴賤之率。
此二率 者，各自相與通。
通則甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五。
一斛之費謂之錢 率。
錢率約戶率者，則錢為母，戶為子。
子不齊，令母互乘為齊，則衰也。
若其 不然。
以一斛之費約戶數，取衰。
並有分，當通分內子，約之，於算甚繁。
此一 章皆相與通功共率，略相依似。
以上二率、下一率亦可放此，從其簡易而已。
又 以分言之，使甲一戶出二十分斛之一，乙一戶出十八分斛之一，各以戶數乘之， 亦可得一縣凡所當輸，俱為衰也。
乘之者，乘其子，母報除之。
以此觀之，則以 一斛之費約戶數者，其意不異矣。
然則可置一斛之費而反衰之。
約戶，以乘戶率 為衰也。
合分注曰：「母除為率，率乘子為齊。」
反衰注曰：「先同其母，各以 分母約，其子為反衰。」
以施其率，為算既約，且不妨處下也。
〕 甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊 衰二百七十，副並為法。
所賦粟乘未並者，各自為實。
實如法得一。
〔各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如戶數而一，得率：戶出三錢二千八 百七十三分錢之一千三百八十一。
按：此以出錢為均。
問者曰：「一車載二十五 斛，與僦一里一錢。」
一錢即一里僦價也。
以乘裡數者，欲知僦一車到輸所用錢。
甲自輸其縣，則無取僦之價。
以一車二十五斛除之者，欲知僦一斛所用錢。
加一 斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢：甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十 七，戊一十九。
各以約其戶，為衰：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三 百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。
言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十 八戶共出一斛。
計其所費，則皆戶一錢，故可為均賦之率也。
於今有術，副並為 所有率，未並者各為所求率，賦粟一萬斛為所有數。
此今有、衰分之義也。
〕 今有均賦粟：甲縣四萬二千算，粟一斛二十，自輸其縣；乙縣三萬四千二百 七十二算，粟一斛一十八，傭價一日一十錢，到輸所七十里；丙縣一萬九千三百 二十八算，粟一斛一十六，傭價一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬七千七 百算，粟一斛一十四，傭價一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬三千四十 算，粟一斛一十二，傭價一日五錢，到輸所二百一十里；己縣一萬九千一百三十 六算，粟一斛一十，傭價一日五錢，到輸所二百八十里。
凡六縣賦粟六萬斛，皆 輸甲縣。
六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載輸之 間各一日。
粟有貴賤，傭各別價，以算出錢，令費勞等，問縣各粟幾何？答曰： 甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。
乙縣一萬八百二十七斛一 百三十三分斛之九，丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
丁縣六千七百 六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。
戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七 十四。
己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。
術曰：以車程行空、重相乘為法，並空、重，以乘道裡，各自為實，實如法 得一日。
〔按：此術重往空還，一輸再行道也。
置空行一里用七十分日之一，重行一 裡用五十分日之一。
齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。
完言之者，一百七十五里之路，往返用六日也。
故並空、重者，齊其子也；空、 重相乘者，同其母也。
於今有術，至輸所裡為所有數，六為所求率，一百七十五 為所有率，而今有之，即各得輸所用日也。
〕 加載輸各一日， 〔故得凡日也。
〕 而以六人乘之， 〔欲知致一車用人也。
〕 又以傭價乘之， 〔欲知致車人傭直幾錢。
〕 以二十五斛除之， 〔欲知致一斛之傭直也。
〕 加一斛粟價，即致一斛之費。
〔加一斛之價於致一斛之傭直，即凡輸一斛粟取傭所用錢。
〕 各以約其算數為衰， 〔今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰 十六。
於今有術，副並為所有率，未並者各自為所求率，所賦粟為所有數。
此今 有、衰分之義也。
〕 副並為法，以所賦粟乘未並者，各自為實。
實如法得一斛。
〔各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如算數而一，得率：算出九錢一百三 十三分錢之三。
又載輸之間各一日者，即二日也。
〕 今有粟七斗，三人分舂之，一人為糲米，一人為粺米，一人為米， 令米數等。
問取粟、為米各幾何？答曰：糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十。
粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。
米取粟二斗一百二十一分斗之 七十三。
為米各一斗六百五分斗之一百五十一。
術曰：列置糲米三十，粺米二十七，米二十四，而反衰之。
〔此先約三率：糲為十，粺為九，為八。
欲令米等者，其取粟：糲 率十分之一，粺率九分之一，率八分之一。
當齊其子，故曰反衰也。
淳風等按：米有一精一粗之異，粟有多少之差。
據率，粺、少而糲多； 用粟，則粺、多而糲少。
米若依本率之分，粟當倍率，故今反衰之，使 一精一取多而粗得少。
〕 副並為法。
以七斗乘未並者，各自為取粟實。
實如法得一鬥。
〔於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，粟七斗為所有數，而今有 之，故各得取粟也。
〕 若求米等者，以本率各乘定所取粟為實，以粟率五十為法，實如法得一鬥。
〔若徑求為米等數者，置糲米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十； 米十二，用粟二十五。
齊其粟，同其米，並齊為法。
以七斗乘同為實。
所得，即 為米斗數。
〕 今有人當稟粟二斛。
倉無粟，欲與米一、菽二，以當所稟粟。
問各幾何？答 曰；米五斗一升七分升之三。
菽一斛二升七分升之六。
術曰：置米一、菽二，求為粟之數。
並之，得三、九分之八，以為法。
亦置 米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自為實。
實如法得一斛。
〔淳風等按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一 之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。
並全，得三。
齊子，並之，得二十四；同母，得二十七；約之，得九分之八。
故 云「並之，得三、九分之八」。
米一、菽二當粟三、九分之八，此其粟率也。
於 今有術，米一、菽二皆為所求率，當粟三、九分之八，為所有率，粟二斛為所有 數。
凡言率者，當相與。
通之，則為米九、菽十八，當粟三十五也。
亦有置米 一、菽二，求其為粟之率，以為列衰。
副並為法，以粟乘列衰為實。
所得即米一、 菽二所求粟也。
以米、菽本率而今有之，即合所問。
〕 今有取傭，負鹽二斛，行一百里，與錢四十。
今負鹽一斛七斗三升少半升， 行八十里。
問與錢幾何？答曰：二十七錢一十五分錢之一十一。
術曰：置鹽二斛升數，以一百里乘之為法。
〔按：此術以負鹽二斛升數乘所行一百里，得二萬里。
是為負鹽一升行二萬 裡，得錢四十。
於今有術，為所有率。
〕 以四十錢乘今負鹽升數，又以八十里乘之，為實。
實如法得一錢。
〔以今負鹽升數乘所行裡，今負鹽一升凡所行裡也。
於今有術以所有數，四 十錢為所求率也。
衰分章「貸人千錢」與此同。
〕 今有負籠重一石，行百步，五十返。
今負籠重一石一十七斤，行七十六步， 問返幾何？答曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。
術曰：以今所行步數乘今籠重斤數，為法。
〔此法謂負一斤一返所行之積步也。
〕 故籠重斤數乘故步，又以返數乘之，為實。
實如法得一返。
〔按：此法，負一斤一返所行之積步；此實者一斤一日所行之積步。
故以一 返之課除終日之程，即是返數也。
淳風等按：此術，所行步多者得返少，所行步少者得返多。
然則故所行者今 返率也。
故令所得返乘今返之率，為實，而以故返之率為法，今有術也。
按：此 負籠又有輕重，於是為術者因令重者得返少，輕者得返多。
故又因其率以乘法、 實者，重今有之義也。
然此意非也。
按：此籠雖輕而行有限，籠過重則人力遺。
力有遺而術無窮，人行有限而籠輕重不等。
使其有限之力隨彼無窮之變，故知此 術率乖理也。
若故所行有空行返數，設以問者，當因其所負以為返率，則今返之 數可得而知也。
假令空行一日六十里，負重一斛行四十里。
減重一斗進二里半， 負重二斗以下與空行同。
今負籠重六斗，往返行一百步，問返幾何？答曰：一百 五十返。
術曰：置重行率，加十里，以裡法通之，為實。
以一返之步為法。
實如 法而一，即得也。
〕 今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里。
今載太倉粟輸上林，五 日三返，問太倉去上林幾何？答曰：四十八里一十八分裡之一十一 術曰：並空、重裡數，以三返乘之，為法。
令空、重相乘，又以五日乘之， 為實。
實如法得一里。
〔此亦如上術。
率：一百七十五里之路，往返用六日也。
於今有術，則五日 為所有數，一百七十五里為所求率，六日為所有率。
以此所得，則三返之路。
今 求一返，當以三約之，因令乘法而併除也。
為術亦可各置空、重行一里用日之率， 以為列衰，副並為法。
以五日乘列衰為實。
實如法，所得即各空、重行日數也。
各以一日所行以乘，為凡日所行。
三返約之，為上林去太倉之數。
按：此術重往 空還，一輸再還道。
置空行一里用七十分日之一，重行一里用五十分日之一。
齊 而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六。
完言之者，一百七十 五里之路，往返用六日。
故並空、重者，並齊也；空、重相乘者，同其母也。
於 今有術，五日為所有數，一百七十五為所求率，六為所有率。
以此所得，則三返 之路。
今求一返者，當以三約之。
故令乘法而併除，亦當約之也。
〕 今有絡絲一斤為練絲一十二兩，練絲一斤為青絲一斤一十二銖。
今有青絲一 斤，問本絡絲幾何？答曰：一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六。
術曰：以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。
以青絲一斤銖數乘練絲一斤 兩數，又以絡絲一斤乘，為實。
實如法得一斤。
〔按：練絲一斤為青絲一斤十二銖，此練率三百八十四，青率三百九十六也。
又絡絲一斤為練絲十二兩，此絡率十六，練率十二也。
置今有青絲一斤，以練率 三百八十四乘之，為實。
實如青絲率三百九十六而一。
所得，青絲一斤，練絲之 數也。
又以絡率十六乘之，所得為實；以練率十二為法。
所得，即練絲用絡絲之 數也。
是謂重今有也。
雖各有率，不問中間。
故令後實乘前實，後法乘前法而並 除也。
故以練絲兩數為實，青絲銖數為法。
一曰：又置絡絲一斤兩數與練絲十 二兩，約之，絡得四，練得三。
此其相與之率。
又置練絲一斤銖數與青絲一斤一 十二銖，約之，練得三十二，青得三十三。
亦其相與之率。
齊其青絲、絡絲，同 其二練，絡得一百二十八，青得九十九，練得九十六，即三率悉通矣。
今有青絲 一斤為所有數，絡絲一百二十八為所求率，青絲九十九為所有率。
為率之意猶此， 但不先約諸率耳。
凡率錯互不通者，皆積齊同用之。
放此，雖四五轉不異也。
言 同其二練者，以明三率之相與通耳，於術無以異也。
又一術：今有青絲一斤銖 數乘練絲一斤兩數，為實；以青絲一斤一十二銖為法。
所得，即用練絲兩數。
以 絡絲一斤乘所得為實，以練絲十二兩為法，所得，即用絡絲斤數也。
〕 今有惡粟二十斗，舂之，得糲米九斗。
今欲求粺米一十斗，問惡粟幾何？ 答曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。
術曰：置糲米九斗，以九乘之，為法。
亦置粺米十斗，以十乘之，又以惡 粟二十斗乘之，為實。
實如法得一鬥。
〔按：此術置今有求粺米十斗，以糲米率十乘之，如粺率九而一，即 粺化為糲，又以惡粟率二十乘之，如糲率九而一，即糲亦化為惡粟矣。
此亦重 今有之義。
為術之意猶絡絲也。
雖各有率，不問中間。
故令後實乘前實，後法乘 前法而併除之也。
〕 今有善行者行一百步，不善行者行六十步。
今不善行者先行一百步，善行者 追之。
問幾何步及之？答曰：二百五十步。
術曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，余四十步，以為法。
以善行者 之一百步乘不善行者先行一百步，為實。
實如法得一步。
〔按：此術以六十步減一百步，余四十步，即不善行者先行率也；善行者行 一百步，追及率。
約之，追及率得五，先行率得二。
於今有術，不善行者先行一 百步為所有數，五為所求率，二為所有率，而今有之，得追及步也。
〕 今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。
問善 行者幾何裡及之？答曰：三十三里少半里。
術曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以為法。
以不善 行者先行一十里乘善行者一百里，為實。
實如法得一里。
〔按：此術不善行者既先行一十里，後不及二十里，並之，得三十里也，謂 之先行率。
善行者一百里為追及率。
約之，先行率得三，三為所有率，而今有之， 即得也。
其意如上術也。
〕 今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。
問犬不止，復行 幾何步及之？答曰：一百七步七分步之一。
術曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步減之，余為法。
以不及三十步乘 犬追步數為實。
實如法得一步。
〔按：此術以不及三十步減先走一百步，余七十步，為兔先走率。
犬行二百 五十步為追及率。
約之，先走率得七，追及率得二十五。
於今有術，不及三十步 為所有數，二十五為所求率，七為所有率，而今有之，即得也。
〕 今有人持金十二斤出關，關稅之，十分而取一。
今關取金二斤，償錢五千。
問金一斤值錢幾何？答曰：六千二百五十。
術曰：以一十乘二斤，以十二斤減之，余為法。
以一十乘五千為實。
實如法 得一錢。
〔按：此術置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所當稅者 也。
減二斤，余即關取盈金。
以盈除所償錢，即金值也。
今術既以十二斤為所稅， 則是以十為母，故以十乘二斤及所償錢，通其率。
於今有術，五千錢為所有數， 十為所求率，八為所有率，而今有之，即得也。
〕 今有客馬，日行三百里。
客去忘持衣。
日已三分之一，主人乃覺。
持衣追及， 與之而還；至家視日四分之三。
問主人馬不休，日行幾何？答曰：七百八十里。
術曰：置四分日之三，除三分日之一， 〔按：此術「置四分日之三，除三分日之一」者，除，其減也。
減之餘，有 十二分之五，即是主人追客還用日率也。
〕 半其餘，以為法。
〔去其還，存其往。
率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五。
是為主人 與客均行用日之率也。
〕 副置法，增三分日之一。
〔法二十四分之五者，主人往追用日之分也。
三分之一者，客去主人未覺之 前獨行用日之分也。
並連此數，得二十四分日之十三，則主人追及前用日之分也。
是為客用日率也。
然則主人用日率者，客馬行率也；客用日率者，主人馬行率也。
母同則子齊，是為客馬行率五，主人馬行率十三。
於今有術，三百里為所有數， 十三為所求率，五為所有率，而今有之，即得也。
〕 以三百里乘之，為實。
實如法，得主人馬一日行。
〔欲知主人追客所行裡者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一， 得一百六十二里半。
以此乘客馬與主人均行日分母二十四，如客馬與主人均行用 日分子五而一，亦得主人馬一日行七百八十里也。
〕 今有金棰，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤。
問次一尺各重 幾何？答曰：末一尺重二斤。
次一尺重二斤八兩。
次一尺重三斤。
次一尺重三斤 八兩。
次一尺重四斤。
術曰：令末重減本重，余，即差率也。
又置本重，以四間乘之，為下第一衰。
副置，以差率減之，每尺各自為衰。
〔按：此術五尺有四間者，有四差也。
今本末相減，余即四差之凡數也。
以 四約之，即得每尺之差。
以差數減本重，余即次尺之重也。
為術所置，如是而已。
今此率以四為母，故令母乘本為衰，通其率也。
亦可置末重，以四間乘之，為上 第一衰。
以差重率加之，為次下衰也。
〕 副置下第一衰，以為法。
以本重四斤遍乘列衰，各自為實。
實如法得一斤。
〔以下第一衰為法，以本重乘其分母一之 數，而又反此率乘本重，為實。
一乘 一除，勢無損益，故惟本存焉。
眾衰相推為率，則其餘可知也。
亦可副置末衰為 法，而以末重二斤乘列衰為實。
此雖迂迴，然是其舊。
故就新而言之也。
〕 今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？答曰：甲得一錢 六分錢之二。
乙得一錢六分錢之一。
丙得一錢。
丁得六分錢之五。
戊得六分錢之 四。
術曰：置錢，錐行衰。
〔按：此術「錐行」者，謂如立錐：初一、次二、次三、次四、次五，各均， 為一列者也。
〕 並上二人為九，並下三人為六。
六少於九，三。
〔數不得等，但以五、四、三、二、一為率也。
〕 以三均加焉，副並為法。
以所分錢乘未並者，各自為實。
實如法得一錢。
〔此問者，令上二人與下三人等，上、下部差一人，其差三。
均加上部，則 得二三；均加下部，則得三三。
下部猶差一人，差得三，以通於本率，即上、下 部等也。
於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，五錢為所有數，而今有 之，即得等耳。
假令七人分七錢，欲令上二人與下五人等，則上、下部差三人。
並上部為十三，下部為十五。
下多上少，下不足減上。
當以上、下部列差而後均 減，乃合所問耳。
此可仿下術：令上二人分二錢半為上率，令下三人分二錢半為 下率。
上、下二率以少減多，余為實。
置二人、三人，各半之，減五人，余為法。
實如法得一錢，即衰相去也。
下衰率六分之五者，丁所得錢數也。
〕 今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升。
問中間二節欲均容，各多少？ 答曰：下初一升六十六分升之二十九。
次一升六十六分升之二十二。
次一升六十 六分升之一十五。
次一升六十六分升之八。
次一升六十六分升之一。
次六十六分 升之六十。
次六十六分升之五十三。
次六十六分升之四十六。
次六十六分升之三 十九。
術曰：以下三節分四升為下率，以上四節分三升為上率。
〔此二率者，各其平率也。
〕 上、下率以少減多，余為實。
〔按：此上、下節各分所容為率者，各其平率。
上、下以少減多者，余為中 間五節半之凡差，故以為實也。
〕 置四節、三節，各半之，以減九節，余為法。
實如法得一升。
即衰相去也。
〔按此術法者，上下節所容已定之節，中間相去節數也；實者，中間五節半 之凡差也。
故實如法而一，則每節之差也。
〕 下率一升少半升者，下第二節容也。
〔一升少半升者，下三節通分四升之平率。
平率即為中分節之容也。
〕 今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。
今鳧、雁俱起，問何 日相逢？答曰：三日十六分日之十五。
術曰：並日數為法，日數相乘為實，實如法得一日。
〔按：此術置鳧七日一至，雁九日一至。
齊其至，同其日，定六十三日鳧九 至，雁七至。
今鳧、雁俱起而問相逢者，是為共至。
並齊以除同，即得相逢日。
故「並日數為法」者，並齊之意；「日數相乘為實」者，猶以同為實也。
一曰： 鳧飛日行七分至之一，雁飛日行九分至之一。
齊而同之，鳧飛定日行六十三分至 之九，雁飛定日行六十三分至之七。
是為南北海相去六十三分，鳧日行九分，雁 日行七分也。
並鳧、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。
〕 今有甲發長安，五日至齊；乙發齊，七日至長安。
今乙發已先二日，甲乃發 長安，問幾何日相逢？答曰：二日十二分日之一。
術曰：並五日、七日，以為法。
〔按：此術「並五日、七日為法」者，猶並齊為法。
置甲五日一至，乙七日 一至。
齊而同之，定三十五日甲七至，乙五至。
並之為十二至者，用三十五日也。
謂甲、乙與發之率耳。
然則日化為至，當除日，故以為法也。
〕 以乙先發二日減七日， 〔「減七日」者，言甲、乙俱發，今以發為始發之端，於本道裡則余分也。
〕 也。
余，以乘甲日數為實。
〔七者，長安去齊之率也；五者，後發相去之率也。
今問後發，故捨七用五。
以乘甲五日，為二十五日。
言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。
實如法得一日。
〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。
齊而同之，甲定日行三十五分至 之七，乙定日行三十五分至之五。
是為齊去長安三十五分，甲日行七分，乙日行 五分也。
今乙先行發二日，已行十分，余，相去二十五分。
故減乙二日，余，令 相乘，為二十五分。
〕 今有一人一日為牝瓦三十八枚，一人一日為牡瓦七十六枚。
今令一人一日作 瓦，牝、牡相半，問成瓦幾何？答曰：二十五枚少半枚。
術曰：並牝、牡為法，牝、牡相乘為實，實如法得一枚。
〔此意亦與鳧雁同術。
牝、牡瓦相並，猶如鳧、雁日飛相並也。
按：此術 「並牝、牡為法」者，並齊之意；「牝、牡相乘為實」者，猶以同為實也。
故實 如法，即得也。
〕 今有一人一日矯矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。
今令一人 一日自矯、羽、摐，問成矢幾何？答曰：八矢少半矢。
術曰：矯矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒 三人少半人。
並之，得六人，以為法。
以五十矢為實。
實如法得一矢。
〔按：此術言成矢五十，用徒六人，一日工也。
此同工其作，猶鳧、雁共至 之類，亦以同為實，並齊為法。
可令矢互乘一人為齊，矢相乘為同。
今先令同於 五十矢。
矢同則徒齊，其歸一也。
——以此術為鳧雁者，當雁飛九日而一至，鳧 飛九日而一至七分至之二。
並之，得二至七分至之二，以為法。
以九日為實。
— —實如法而一，得一人日成矢之數也。
〕 今有假田，初假之歲三畝一錢，明年四畝一錢，後年五畝一錢。
凡三歲得一 百。
問田幾何？答曰：一頃二十七畝四十七分畝之三十一。
術曰：置畝數及錢數。
令畝數互乘錢數，並，以為法。
畝數相乘，又以百錢 乘之，為實。
實如法得一畝。
〔按：此術令畝互乘錢者，齊其錢；畝數相乘者，同其畝。
同於六十，則初 假之歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二也。
凡三歲得錢一百，為所有數， 同畝為所求率，四十七錢為所有率，今有之，即得也。
齊其錢，同其畝，亦如鳧 雁術也。
於今有術，百錢為所有數，同畝為所求率，並齊為所有率。
淳風等按：假田六十畝，初歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二。
並之，得錢四十七。
是為得田六十畝，三歲所假。
於今有術，百錢為所有數，六 十畝為所求率，四十七為所有率，而今有之，即合問也。
〕 今有程耕，一人一日發七畝，一人一日耕三畝，一人一日耰種五畝。
今令一 人一日自發、耕、耰種之，問治田幾何？答曰：一畝一百一十四步七十一分步之 六十六。
術曰：置發、耕、耰畝數，令互乘人數，並，以為法。
畝數相乘為實。
實如 法得一畝。
〔此猶鳧雁術也。
淳風等按：此術亦發、耕、耰種畝數互乘人者，齊其人；畝數相乘者，同 其畝。
故並齊為法，以同為實。
計田一百五畝，發用十五人，耕用三十五人，種 用二十一人。
並之，得七十一工。
治得一百五畝，故以為實。
而一人一日所治， 故以人數為法除之，即得也。
〕 今有池，五渠注之。
其一渠開之，少半日一滿，次一日一滿，次二日半一滿， 次三日一滿，次五日一滿。
今皆決之，問幾何日滿池？答曰：七十四分日之十五。
術曰：各置渠一日滿池之數，並，以為法。
〔按：此術其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次一日一滿；次二日半滿者， 是一日五分滿之二也；次三日滿者，是一日三分滿之一也；次五日滿者，是一日 五分滿之一也。
並之，得四滿十五分滿之十四也。
〕 以一日為實，實如法得一日。
〔此猶矯矢之術也。
先令同於一日，日同則滿齊。
自鳧雁至此，其為同齊有 二術焉，可隨率宜也。
〕 其一術：各置日數及滿數。
〔其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次一日一滿；次二日半滿者，是五日 二滿；次三日一滿，次五日一滿。
此謂之列置日數及滿數也。
〕 令日互相乘滿，並，以為法。
日數相乘為實。
實如法得一日。
〔亦如鳧雁術也。
按：此其一渠少半日滿池者，是一日三滿池也；次一日一 滿；次二日半滿者，是五日再滿；次三日一滿；次五日一滿。
此謂列置日數於右 行，及滿數於左行。
以日互乘滿者，齊其滿；日數相乘者，同其日。
滿齊而日同， 故並齊以除同，即得也。
〕 今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，內關七而取一，余米五 鬥。
問本持米幾何？答曰：十斗九升八分升之三。
術曰：置米五斗，以所稅者三之，五之，七之，為實。
以余不稅者二、四、 六相互乘為法。
實如法得一鬥。
〔此亦重今有也。
所稅者，謂今所當稅之。
定三、五、七皆為所求率，二、 四、六皆為所有率。
置今有餘米五斗，以七乘之，六而一，即內關未稅之本米也。
又以五乘之，四而一，即中關未稅之本米也。
又以三乘之，二而一，即外關未稅 之本米也。
今從末求本，不問中間，故令中率轉相乘而同之，亦如絡絲術。
又一術：外關三而取一，則其餘本米三分之二也。
求外關所稅之餘，則當置 一，二分乘之，三而一。
欲知中關，以四乘之，五而一。
欲知內關，以六乘之， 七而一。
凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，為分母；二、四、 六相乘，得四十八，為分子。
約而言之，則是余米於本所持三十五分之十六也。
於今有術，余米五斗為所有數，分母三十五為所求率，分子十六為所有率也。
〕 今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五 而稅一，次關六而稅一。
並五關所稅，適重一斤。
問本持金幾何？答曰：一斤三 兩四銖五分銖之四。
術曰：置一斤，通所稅者以乘之，為實。
亦通其不稅者，以減所通，余為法。
實如法得一斤。
〔此意猶上術也。
「置一斤，通所稅者」，謂令二、三、四、五、六相乘， 為分母，七百二十也。
「通其所不稅者」，謂令所稅之餘一、二、三、四、五相 乘，為分子，一百二十也。
約而言之，是為余金於本所持六分之一也。
以子減母， 凡五關所稅六分之五也。
於今有術，所稅一斤為所有數，分母六為所求率，分子 五為所有率。
此亦重今有之義。
又雖各有率，不問中間，故令中率轉相乘而連除 之，即得也。
置一以為持金之本率，以稅率乘之、除之，則其率亦成積分也。
〕
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