九章算術
卷四
《》作者：張蒼
○少廣（以御積冪方圓） 少廣 〔淳風等按：一畝之田，廣一步，長二百四十步。
今欲截取其從少，以益其 廣，故曰少廣。
〕 術曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步， 〔淳風等按：以分母乘全步者，通其分也；以母乘子者，齊其子也。
〕 各以其母除其子，置之於左，命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者，皆 通而同之。
並之為法。
〔淳風等按：諸子悉通，故可並之為法。
亦宜用合分術，列數尤多，若用乘 則算數至繁，故別制此術，從省約。
〕 置所求步數，以全步積分乘之為實。
〔此以田廣為法，以畝積步為實。
法有分者，當同其母，齊其子，以同乘法 實，而並齊於法。
今以分母乘全步及子，子如母而一，並以並全法，則法實俱長， 意亦等也。
故如法而一，得從步數。
〕 實如法而一，得從步。
今有田廣一步半。
求田一畝，問從幾何？答曰：一百六十步。
術曰：下有半，是二分之一。
以一為二，半為一，並之，得三，為法。
置田 二百四十步，亦以一為二乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一。
求田一畝，問從幾何？答曰：一百三十步一 十一分步之一十。
術曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，並之，得一十一，為 法。
置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。
求田一畝，問從幾何？答曰： 一百一十五步五分步之一。
術曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三， 並之，得二十五，以為法。
置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實。
實如 法而一，得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。
求田一畝，問從 幾何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。
術曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一 十五，五分之一為一十二，並之，得一百三十七，以為法。
置田二百四十步，亦 以一為六十乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。
求 田一畝，問從幾何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。
術曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一 為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，並之，得二百九十四，以為法。
置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一。
求田一畝，問從幾何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。
術曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十， 四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，並 之，得一千八十九，以為法。
置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一。
求田一畝，問從幾何？答曰：八十八步七百六十一分步 之二百三十二。
術曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十， 四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一 為一百二十，八分之一為一百五，並之，得二千二百八十三，以為法。
置田二百 四十步，亦以一為八百四十乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一。
求田一畝，問從幾何？答曰：八十四步七 千一百二十九分步之五千九百六十四。
術曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八 百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分 之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，並之，得七千 一百二十九，以為法。
置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。
實 如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。
求田一畝、問從幾何？答曰： 八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為 八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七 分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為 二百五十二，並之，得七千三百八十一，以為法。
置田二百四十步，亦以一為二 千五百二十乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。
求田一畝， 問從幾何？答曰：七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十， 三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十 四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百 六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為 二千五百二十，並之，得八萬三千七百一十一，以為法。
置田二百四十步，亦以 一為二萬七千七百二十乘之，為實。
實如法得從步。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之 一。
求田一畝，問從幾何？答曰：七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百 八十三。
術曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十， 三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千 六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八 分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一 十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，並之，得二十 五萬八千六十三，以為法。
置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之， 為實。
實如法得從步。
〔淳風等按：凡為術之意，約省為善。
宜云「下有一十二分，以一為二萬七 千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六 千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一 為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，十分之一 為二千七百七十二，十一分之一為二千五百二十，十二分之一為二千三百一十， 並之，得八萬六千二十一，以為法。
置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二 十乘之，以為實。
實如法得從步。」
其術亦得知，不繁也。
〕 今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？答曰：二百三十五步。
又有積二萬五千二百八十一步，問為方幾何？答曰：一百五十九步。
又有積七萬一千八百二十四步，問為方幾何？答曰：二百六十八步。
又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一，問為方幾何？答曰：七百五 十一步半。
又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步，問為方幾何？答曰：六萬 三千二十五步。
○開方 〔求方冪之一面也。
〕 術曰：置積為實。
借一算，步之，超一等。
〔言百之面十也。
言萬之面百也。
〕 議所得，以一乘所借一算為法，而以除。
〔先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也。
〕 除已，倍法為定法。
〔倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待復除，故曰定法。
〕 其復除，折法而下。
〔欲除朱冪者，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘，而以除。
如是當復步之而止，乃得相命。
故使就上折下。
〕 復置借算，步之如初。
以復議一乘之， 〔欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也。
〕 所得副以加定法，以除。
以所得副從定法。
〔再以黃乙之面加定法者，是則張兩青冪之袤。
〕 復除，折下如前。
若開之不盡者，為不可開，當以面命之。
〔術或有以借算加定法而命分者，雖粗相近，不可用也。
凡開積為方，方之 自乘當還復有積分。
令不加借算而命分，則常微少；其加借算而命分，則又微多。
其數不可得而定。
故惟以面命之，為不失耳。
譬猶以三除十，以其餘為三分之一， 而復其數可以舉。
不以面命之，加定法如前，求其微數。
微數無名者以為分子， 其一退以十為母，其再退以百為母。
退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數， 不足言之也。
〕 若實有分者，通分內子為定實，乃開之。
訖，開其母，報除。
〔淳風等按：分母可開者，並通之積先合二母。
既開之後，一母尚存，故開 分母，求一母為法，以報除也。
〕 若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。
訖，令如母而一。
〔淳風等按：分母不可開者，本一母也。
又以母乘之，乃合二母。
既開之後， 亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。
又按：此術「開方」者，求方冪之面也。
借一算者，假借一算，空有列位之 名，而無除積之實。
方隅得面，是故借算列之於下。
「步之超一等」者，方十自 乘，其積有百，方百自乘，其積有萬，故超位，至百而言十，至萬而言百。
「議 所得，以一乘所借算為法，而以除」者，先得黃甲之面，以方為積者兩相乘，故 開方除之，還令兩面上下相命，是自乘而除之。
「除已，倍法為定法」者，實積 未盡，當復更除，故豫張兩面朱冪袤，以待復除，故曰定法。
「其復除，折法而 下」者，欲除朱冪，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘之，而以除， 如是，當復步之而止，乃得相命。
故使就上折之而下。
「復置借算，步之如初， 以復議一乘之，所得副以加定法，以定法除」者。
欲除朱冪之角黃乙之冪。
「以 所得副從定法」者，再以黃乙之面加定法，是則張兩青冪之袤，故如前開之，即 合所問。
〕 今有積一千五百一十八步四分步之三。
問為圓周幾何？答曰：一百三十五步。
〔於徽術，當週一百三十八步一十分步之一。
淳風等按：此依密率，為週一百三十八步五十分步之九。
〕 又有積三百步，問為圓周幾何？答曰：六十步。
〔於徽術，當週六十一步五十分步之十九。
淳風等按：依密率，為週六十一步一百分步之四十一。
〕 開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周。
〔此術以週三徑一為率，與舊圓田術相返覆也。
於徽術，以三百一十四乘積， 如二十五而一，所得，開方除之，即周也。
開方除之，即徑。
是為據見冪以求周， 猶失之於微少。
其以二百乘積，一百五十七而一，開方除之，即徑，猶失之於微 多。
淳風等按：此注於徽術求周之法，其中不用「開方除之，即徑」六字，今 本有者，衍剩也。
依密率，八十八乘之，七而一。
按週三徑一之率，假令週六徑 二，半周半徑相乘得冪三，週六自乘得三十六。
俱以等數除冪，得一周之數十二 也。
其積：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得積三也。
術為一乘不長，故以 十二而一，得此積。
今還原，置此積三，以十二乘之者，復其本周自乘之數。
凡 物自乘，開方除之，復其本數，故開方除之，即周。
〕 今有積一百八十六萬八百六十七尺， 〔此尺謂立方尺也。
凡物有高、深而言積者，曰立方。
〕 問為立方幾何？答曰：一百二十三尺。
又有積一千九百五十三尺八分尺之一，問為立方幾何？答曰：一十二尺半。
又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，問為立方幾何？答 曰：三十九尺八分尺之七。
又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，問為立方幾何？ 答曰：一百二十四尺太半尺。
開立方 〔立方適等，求其一面也。
〕 術曰：置積為實。
借一算，步之，超二等。
〔言千之面十，言百萬之面百。
〕 議所得，以再乘所借一算為法，而除之。
〔再乘者，亦求為方冪。
以上議命而除之，則立方等也。
〕 除已，三之為定法。
〔為當復除，故豫張三面，以定方冪為定法也。
〕 復除，折而下。
〔復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議，定其厚薄爾。
開平冪者， 方百之面十；開立冪者，方千之面十。
據定法已有成方之冪，故復除當以千為百， 折下一等也。
〕 以三乘所得數，置中行。
〔設三廉之定長。
〕 復借一算，置下行。
〔欲以為隅方。
立方等未有定數，且置一算定其位。
〕 步之，中超一，下超二等。
〔上方法，長自乘而一折，中廉法，但有長，故降一等；下隅法，無面長， 故又降一等也。
〕 復置議，以一乘中， 〔為三廉備冪也。
〕 再乘下， 〔令隅自乘，為方冪也。
〕 皆副以加定法。
以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除，去三冪之厚也。
〕 除已，倍下，並中，從定法。
〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅 連於三廉之端，以待復除也。
言不盡意，解此要當以棋，乃得明耳。
〕 復除，折下如前。
開之不盡者，亦為不可開。
〔術亦有以定法命分者，不如故冪開方，以微數為分也。
〕 若積有分者，通分內子為定實。
定實乃開之。
訖，開其母以報除。
〔淳風等按：分母可開者，並通之積先合三母。
既開之後一母尚存，故開分 母，求一母，為法，以報除也。
〕 若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。
訖，令如母而一。
〔淳風等按：分母不可開者，本一母也。
又以母再乘之，令合三母。
既開之 後，一母猶存，故令一母而一，得全面也。
按：「開立方」知，立方適等，求其一面之數。
「借一算，步之，超二等」 者，但立方求積，方再自乘，就積開之，故超二等，言千之面十，言百萬之面百。
「議所得，以再乘所借算為法，而以除」知，求為方冪，以議命之而除，則立方 等也。
「除已，三之為定法」，為積未盡，當復更除，故豫張三面已定方冪為定 法。
「復除，折而下」知，三面方冪皆已有自乘之數，須得折、議定其厚薄。
據 開平方，百之面十，其開立方，即千之面十。
而定法已有成方之冪，故復除之者， 當以千為百，折下一等。
「以三乘所得數，置中行」者，設三廉之定長。
「復借 一算，置下行」者，欲以為隅方，立方等未有數，且置一算定其位也。
「步之， 中超一，下超二」者，上方法長自乘而一折，中廉法但有長，故降一等，下隅法 無面長，故又降一等。
「復置議，以一乘中」者，為三廉備冪。
「再乘下」，當 令隅自乘為方冪。
「皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有冪， 以上議命之而除，去三冪之厚。
「除已，倍下、並中，從定法」者，三廉各當以 兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待復除。
其開之不盡者，折下如 前，開方，即合所問。
「有分者，通分內子開之。
訖，開其母以報除」，「可開 者，並通之積，先合三母；既開之後，一母尚存，故開分母」者，「求一母為法， 以報除。」
「若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。
訖，令如母而一」，分 母不可開者，本一母，又以母再乘，令合三母，既開之後，亦一母尚存。
故令如 母而一，得全面也。
〕 今有積四千五百尺。
〔亦謂立方之尺也。
〕 問為立圓徑幾何？答曰：二十尺。
〔依密率，立圓徑二十尺，計積四千一百九十尺二十一分尺之一十。
〕 又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。
問為立圓徑幾 何？答曰：一萬四千三百尺。
〔依密率，為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三。
〕 開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，即立 圓徑。
〔立圓，即丸也。
為術者，蓋依週三徑一之率。
令圓冪居方冪四分之三，圓 囷居立方亦四分之三。
更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也。
置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。
故以十六乘積， 九而一，得立方之積。
丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也。
然此意非也。
何 以驗之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。
規之為圓囷，逕二寸， 高二寸。
又復橫因之，則其形有似牟合方蓋矣。
八棋皆似一陽一馬，圓然也。
按：合 蓋者，方率也，丸居其中，即圓率也。
推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉？ 以週三徑一為圓率，則圓冪傷少；令圓囷為方率，則丸積傷多，互相通補，是以 九與十六之率偶與實相近，而丸猶傷多耳。
觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸， 而多少不掩。
判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。
欲陋形措意，懼失正 理。
敢不闕疑，以俟能言者。
黃金方寸，重十六兩；金丸徑寸，重九兩，率生於此，未曾驗也。
《周官· 考工記》：「朅氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然後權之，權之然後准之，准之 然後量之。」
言煉金使極一精一，而後分之則可以為率也。
令丸逕自乘，三而一，開 方除之，即丸中之立方也。
假令丸中立方五尺，五尺為句，句自乘冪二十五尺。
倍之得五十尺，以為弦冪，謂平面方五尺之弦也。
以此弦為股，亦以五尺為句， 並句股冪得七十五尺，是為大弦冪。
開方除之，則大弦可知也。
大弦則中立方之 長邪，邪即丸徑。
故中立方自乘之冪於丸逕自乘之冪，三分之一也。
今大弦還乘 其冪，即丸外立方之積也。
大弦冪開之不盡，令其冪七十五再自乘之，為面，命 得外立方積，四十二萬一千八百七十五尺之面。
又令中立方五尺自乘，又以方乘 之，得積一百二十五尺，一百二十五尺自乘，為面，命得積，一萬五千六百二十 五尺之面。
皆以六百二十五約之，外立方積，六百七十五尺之面，中立方積，二 十五尺之面也。
張衡算又謂立方為質，立圓為渾。
衡言質之與中外之渾：六百七十五尺之面， 開方除之，不足一，謂外渾積二十六也；內渾，二十五之面，謂積五尺也。
今徽 令質言中渾，渾又言質，則二質相與之率猶衡二渾相與之率也。
衡蓋亦先二質之 率推以言渾之率也。
衡又言：「質，六十四之面；渾，二十五之面。」
質復言渾， 謂居質八分之五也。
又云：方，八之面；圓，五之面。」
圓渾相推，知其復以圓 囷為方率，渾為圓率也，失之遠矣。
衡說之自然欲協其一陰一陽一奇偶之說而不顧疏密 矣。
雖有文辭，斯亂道破義，病也。
置外質積二十六，以九乘之，十六而一，得 積十四尺八分尺之五，即質中之渾也。
以分母乘全內子，得一百一十七。
又置內 質積五，以分母乘之，得四十，是謂質居渾一百一十七分之四十，而渾率猶為傷 多也。
假令方二尺，方四面，並得八尺也，謂之方周。
其中令圓徑與方等，亦二 尺也。
圓半徑以乘圓周之半，即圓冪也。
半方以乘方周之半，即方冪也。
然則方 周知，方冪之率也；圓周知，圓冪之率也。
按：如衡術，方周率八之面，圓周率 五之面也。
令方週六十四尺之面，圓週四十尺之面也。
又令徑二尺自乘，得徑四 尺之面，是為圓周率十之面，而徑率一之面也。
衡亦以週三徑一之率為非，是故 更著此法，然增周太多，過其實矣。
淳風等按：祖曬之謂劉徽、張衡二人皆以圓囷為方率，丸為圓率，乃設新 法。
祖曬之開立圓術曰：「以二乘積，開立方除之，即立圓徑。
其意何也？取 立方棋一枚，令立樞於左後之下隅，從規去其右上之廉；又合而衡規之，去其前 上之廉。
於是立方之棋分而為四，規內棋一，謂之內棋；規外棋三，謂之外棋。
規更合四棋，復橫斷之。
以句股言之，令余高為句，內棋斷上方為股，本方之數， 其弦也。
句股之法：以句冪減弦冪，則余為股冪。
若令余高自乘，減本方之冪， 余即內棋斷上方之冪也。
本方之冪即此四棋之斷上冪。
然則余高自乘，即外三棋 之斷上冪矣。
不問高卑，勢皆然也。
然固有所歸同而途殊者爾。
而乃控遠以演類， 借況以析微。
按：一陽一馬方高數參等者，倒而立之，橫截去上，則高自乘與斷上冪 數亦等焉。
夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。
由此觀之，規之外三棋旁 蹙為一，即一一陽一馬也。
三分立方，則一陽一馬居一，內棋居二可知矣。
合八小方成一 大方，合八內棋成一合蓋。
內棋居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較 然驗矣。
置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為丸率。
故曰丸居立方二分之一也。」
等數既密，心亦昭晢。
張衡放舊，貽哂於後，劉徽 循故，未暇校新。
夫豈難哉，抑未之思也。
依密率，此立圓積，本以圓徑再自乘， 十一乘之，二十一而一，得此積。
今欲求其本積，故以二十一乘之，十一而一。
凡物再自乘，開立方除之，復其本數。
故立方除之，即丸徑也。
〕
分類：未分類項