九章算術
卷一
《》作者：張蒼
○方田（以御田疇界域） 今有田廣十五步，從十六步。
問為田幾何？答曰：一畝。
又有田廣十二步，從十四步。
問為田幾何？答曰：一百六十八步。
〔圖：從十四，廣十二。
〕 方田術曰：廣從步數相乘得積步。
〔此積謂田冪。
凡廣從相乘謂之冪。
淳風等按：經雲廣從相乘得積步，注雲廣從相乘謂之冪。
觀斯注意，積冪義 同。
以理推之，固當不爾。
何則？冪是方面單布之名，積乃眾數聚居之稱。
循名 責實，二者全殊。
雖欲同之，竊恐不可。
今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者 舉眾步之都數。
經雲相乘得積步，即是都數之明文。
注雲謂之為冪，全乖積步之 本意。
此注前雲積為田冪，於理得通。
復雲謂之為冪，繁而不當。
今者註釋，存 善去非，略為料簡，遺諸後學。
〕 以畝法二百四十步除之，即畝數。
百畝為一頃。
〔淳風等按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。
余術不復言者，從此可知。
一 畝之田，廣十五步，從而疏之，令為十五行，則每行廣一步而從十六步。
又橫而 截之，令為十六行，則每行廣一步而從十五步。
此即從疏橫截之步，各自為方， 凡有二百四十步。
一畝之地，步數正同。
以此言之，則廣從相乘得積步，驗矣。
二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。
故以除之，即得。
〕 今有田廣一里，從一里。
問為田幾何？答曰：三頃七十五畝。
又有田廣二里，從三里。
問為田幾何？答曰：二十二頃五十畝。
裡田術曰：廣從裡數相乘得積裡。
以三百七十五乘之，即畝數。
〔按：此術廣從裡數相乘得積裡。
方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即 得畝數也。
〕 今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。
又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。
○約分 〔按：約分者，物之數量，不可悉全，必以分言之；分之為數，繁則難用。
設有四分之二者，繁而言之，亦可為八分之四；約而言之，則二分之一也，雖則 異辭，至於為數，亦同歸爾。
法實相推，動有參差，故為術者先治諸分。
〕 術曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損， 求其等也。
以等數約之。
〔等數約之，即除也。
其所以相減者，皆等數之重疊，故以等數約之。
〕 今有三分之一，五分之二，問合之得幾何？答曰：十五分之十一。
又有三分之二，七分之四，九分之五，問合之得幾何？答曰：得一、六十三 分之五十。
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，問合之得幾何？答曰：得 二、六十分之四十三。
○合分 〔淳風等按：合分知，數非一端，分無定准，諸分子雜互，群母參差。
粗細 既殊，理難從一，故齊其眾分，同其群母，令可相並，故曰合分。
〕 術曰：母互乘子，並以為實。
母相乘為法。
〔母互乘子。
約而言之者，其分粗；繁而言之者，其分細。
雖則粗細有殊， 然其實一也。
眾分錯雜，非細不會。
乘而散之，所以通之。
通之則可並也。
凡母 互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。
同者，相與通同，共一母也；齊者，子與母齊， 勢不可失本數也。
方以類聚，物以群分。
數同類者無遠；數異類者無近。
遠而通 體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也。
然則齊同之術要矣：錯 綜度數，動之斯諧，其猶佩觿解結，無往而不理焉。
乘以散之，約以聚之，齊同 以通之，此其算之綱紀乎？其一術者，可令母除為率，率乘子為齊。
〕 實如法而一。
不滿法者，以法命之。
〔今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。
其餘以等數約之，即得 知，所謂同法為母，實余為子，皆從此例。
〕 其母同者，直相從之。
今有九分之八，減其五分之一，問余幾何？答曰：四十五分之三十一。
又有四分之三，減其三分之一，問余幾何？答曰：十二分之五。
○減分 〔淳風等按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知余幾，減余為實，故曰 減分。
〕 術曰：母互乘子，以少減多，余為實。
母相乘為法。
實如法而一。
〔母互乘子知，以齊其子也。
以少減多知，齊故可相減也。
母相乘為法者， 同其母也。
母同子齊，故如母而一，即得。
〕 今有八分之五，二十五分之十六，問孰多？多幾何？答曰：二十五分之十六 多，多二百分之三。
又有九分之八，七分之六，問孰多？多幾何？答曰：九分之八多，多六十三 分之二。
又有二十一分之八，五十分之十七，問孰多？多幾何？答曰：二十一分之八 多，多一千五十分之四十三。
○課分 〔淳風等按：分各異名，理不齊一，較其相近之數，故曰課分也。
〕 術曰：母互乘子，以少減多，余為實。
母相乘為法。
實如法而一，即相多也。
〔淳風等按：此術母互乘子，以少分減多分，與減分義同；惟相多之數，意 與減分有異：減分知，求其餘數有幾；課分知，以其餘數相多也。
〕 今有三分之一，三分之二，四分之三。
問減多益少，各幾何而平？答曰：減 四分之三者二，三分之二者一，並，以益三分之一，而各平於十二分之七。
又有二分之一，三分之二，四分之三。
問減多益少，各幾何而平？答曰：減 三分之二者一，四分之三者四、並，以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。
○平分 〔淳風等按：平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平 分也。
〕 術曰：母互乘子， 〔齊其子也。
〕 副並為平實。
〔淳風等按：母互乘子，副並為平實知，定此平實主限，眾子所當損益知， 限為平。
〕 母相乘為法。
〔母相乘為法知，亦齊其子，又同其母。
〕 以列數乘未並者各自為列實。
亦以列數乘法。
〔此當副置列數除平實，若然則重有分，故反以列數乘同齊。
淳風等按：問雲所平之分多少不定，或三或二，列位無常。
平三知，置位三 重；平二知，置位二重。
凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直雲列數而已。
〕 以平實減列實，余，約之為所減。
並所減以益於少。
以法命平實，各得其平。
今有七人，分八錢三分錢之一。
問人得幾何？答曰：人得一錢二十一分錢之 四。
又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、四分錢之三。
問人得幾何？答曰： 人得二錢八分錢之一。
○經分 〔淳風等按：經分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。
以 人數分所分，故曰經分也。
〕 術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。
有分者通之。
〔母互乘子知，齊其子；母相乘者，同其母。
以母通之者，分母乘全內子。
乘，散全則為積分，積分則與子相通，故可令相從。
凡數相與者謂之率。
率知， 自相與通。
有分則可散，分重疊則約也；等除法實，相與率也。
故散分者，必令 兩分母相乘法實也。
〕 重有分者同而通之。
〔又以法分母乘實，實分母乘法。
此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內 子，又令分母互乘上下。
〕 今有田廣七分步之四，從五分步之三，問為田幾何？答曰：三十五分步之十 二。
又有田廣九分步之七，從十一分步之九，問為田幾何？答曰：十一分步之七。
又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？答曰：九分步之四。
○乘分 〔淳風等按：乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故曰乘分。
〕 術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。
〔凡實不滿法者而有母、子之名。
若有分，以乘其實而長之，則亦滿法，乃 為全耳。
又以子有所乘，故母當報除。
報除者，實如法而一也。
今子相乘則母各 當報除，因令分母相乘而連除也。
此田有廣從，難以廣諭。
設有問者曰：馬二十 匹，直金十二斤。
今賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？答曰：三十五分斤 之十二。
其為之也，當如經分術，以十二斤金為實，三十五人為法。
設更言馬五 匹，直金三斤。
今賣馬四匹，七人分之，人得幾何？答曰：人得三十五分斤之十 二。
其為之也，當齊其金、人之數，皆合初問入於經分矣。
然則分子相乘為實者， 猶齊其金也；母相乘為法者，猶齊其人也。
同其母為二十，馬無事於同，但欲求 齊而已。
又，馬五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，則為一匹直金五分斤之 三。
七人賣四馬，一人賣七分馬之四。
金與人一交一 互相生。
所從言之異，而計數則 三術同歸也。
〕 今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二，問為田幾何？答曰：十八步。
又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五，問為田幾何？答曰：一百 二十步九分步之五。
又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問為田幾何？答曰： 一畝二百步十一分步之七。
○大廣田 〔淳風等按：大廣田知，初術直有全步而無餘分；次術空有餘分而無全步； 此術先見全步，復有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。
〕 術曰：分母各乘其全，分子從之， 〔分母各乘其全，分子從之者，通全步內分子。
如此則母、子皆為實矣。
〕 相乘為實。
分母相乘為法。
〔猶乘分也。
〕 實如法而一。
〔今為術廣從俱有分，當各自通其分。
命母入者，還須出之，故令分母相乘 為法而連除之。
〕 今有圭田廣十二步，正從二十一步，問為田幾何？答曰：一百二十六步。
又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二，問為田幾何？答曰：二十 三步六分步之五。
術曰：半廣以乘正從。
〔半廣知，以盈補虛為直田也。
亦可半正從以乘廣。
按：半廣乘從，以取中 平之數，故廣從相乘為積步。
畝法除之，即得也。
〕 今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。
問為田幾何？ 答曰：九畝一百四十四步。
又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。
問為田幾何？ 答曰：二十三畝七十步。
術曰：並兩斜而半之，以乘正從若廣。
又可半正從若廣，以乘並。
畝法而一。
〔並而半之者，以盈補虛也。
〕 今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問為田幾何？答曰：一畝 一百三十五步。
又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步，問為田幾 何？答曰：四十六畝二百三十二步半。
術曰：並踵、舌而半之，以乘正從。
畝法而一。
〔中分箕田則為兩邪田，故其術相似。
又可並踵、舌，半正從，以乘之。
〕 今有圓田，週三十步，逕十步。
〔淳風等按：術意以週三徑一為率，週三十步，合徑十步。
今依密率，合徑 九步十一分步之六。
〕 問為田幾何？答曰：七十五步。
〔此於徽術，當為田七十一步一百五十七分步之一百三。
淳風等按：依密率，為田七十一步二十三分步之一十三。
〕 又有圓田，週一百八十一步，逕六十步三分步之一。
〔淳風等按：週三徑一，週一百八十一步，逕六十步三分步之一。
依密率， 徑五十七步二十二分步之一十三。
〕 問為田幾何？答曰：十一畝九十步十二分步之一。
〔此於徽術，當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百十三。
淳風等按：依密率，當為田十畝二百五步八十八分步之八十七。
〕 術曰：半周半徑相乘得積步。
〔按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也。
假令圓徑二尺，圓中容 六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。
合徑率一而外周率三也。
又按：為圖，以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。
若又割之， 次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。
割之彌細，所失彌 少。
割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。
觚面之外，又有餘徑。
以面乘余徑，則冪出觚表。
若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。
表無餘徑， 則冪不外出矣。
以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。
故以半周乘半徑而為圓冪。
此一周、徑，謂至然之數，非週三徑一之率也。
週三者，從其六觚之環耳。
以推 圓規多少之覺，乃弓之與弦也。
然世傳此法，莫肯一精一核；學者踵古，一習一 其謬失。
不有明據，辯之斯難。
凡物類形象，不圓則方。
方圓之率，誠著於近，則雖遠可 知也。
由此言之，其用博矣。
謹按圖驗，更造密率。
恐空設法，數昧而難譬，故 置諸檢括，謹詳其記注焉。
割六觚以為十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓裡觚之面也。
令 半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。
以句冪二十五寸減弦冪，余七十五寸， 開方除之，下至秒、忽。
又一退法，求其微數。
微數無名知以為分子，以十為分 母，約作五分忽之二。
故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。
以減半徑，余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之 求弦。
其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽，余分棄之。
開方除之，即十二觚之一面也。
割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上 小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，余分棄之， 即句冪也。
以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。
以減半徑，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小 股。
為之求小弦。
其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，余分 棄之。
開方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上 小弦幕，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，余分棄之，即 句冪也。
以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。
以減半徑，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小 股。
為之求小弦。
其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，余分棄之。
開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分棄之，即四十八觚之一面。
以半徑一 尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。
以百億除 之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。
割四十八觚以為九十六觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置次 上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽，余分棄之，即句 冪也。
以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。
以減半徑，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。
觚之半面又謂之小股。
為之求小弦。
其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，余分棄之。
開方除 之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分棄之，即九十六觚之一面。
以半徑一尺 乘之，又以四十八乘之，得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽，以百億除之， 得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也。
以九十六 觚之冪減之，余六百二十五分寸之一百五，謂之差冪。
倍之，為分寸之二百一十， 即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也。
加此冪於九十六觚之冪， 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出圓之表矣。
故還就一百九十 二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其餘分。
以半徑一尺除圓冪，倍之， 得六尺二寸八分，即周數。
令逕自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五 十七為率，方冪得二百為率。
方冪二百其中容圓冪一百五十七也。
圓率猶為微少。
案：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之半。
然則圓冪一百五十七，其 中容方冪一百也。
又令徑二尺與週六尺二寸八分相約，周得一百五十七，逕得五 十，則其相與之率也。
周率猶為微少也。
晉武庫中漢時王莽作銅斛，其銘曰：律 嘉量斛，內方尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪一百六十二寸，深一尺，積一千六 百二十寸，容十斗。
以此術求之，得冪一百六十一寸有奇，其數相近矣。
此術微 少。
而觚差冪六百二十五分寸之一百五。
以一百九十二觚之冪為率消息，當取此 分寸之三十六，以增於一百九十二觚之冪，以為圓冪，三百一十四寸二十五分寸 之四。
置逕自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得 五千，是為率。
方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百二十七中容方 冪二千五百也。
以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺 二寸八分二十五分分之八，即周數也。
全徑二尺與周數通相約，逕得一千二百五 十，周得三千九百二十七，即其相與之率。
若此者，蓋盡其纖微矣。
舉而用之， 上法仍約耳。
當求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪，而裁其微分， 數亦宜然，重其驗耳。
淳風等案：舊術求圓，皆以週三徑一為率。
若用之求圓周之數，則周少徑多。
用之求其六觚之田，乃與此率合會耳。
何則？假令六觚之田，觚間各一尺為面， 自然從角至角，其徑二尺可知。
此則週六徑二與週三徑一已合。
恐此猶為難曉， 今更引物為喻。
設令刻物作圭形者六枚，枚別三面，皆長一尺。
攢此六物，悉使 銳頭向裡，則成六觚之周，角徑亦皆一尺。
更從觚角外畔，圍繞為規，則六觚之 徑盡達規矣。
當面徑短，不至外規。
若以徑言之，則為規六尺，逕二尺，面徑皆 一尺。
面徑股不至外畔，定無二尺可知。
故週三徑一之率於圓周乃是徑多周少。
徑一週三，理非一精一密。
蓋術從簡要，舉大綱，略而言之。
劉徽特以為疏，遂改張 其率。
但周、徑相乘，數難契合。
徽雖出斯二法，終不能究其纖毫也。
祖沖之以 其不一精一，就中更推其數。
今者修撰，捃摭諸家，考其是非，沖之為密。
故顯之於 徽術之下，冀學者知所裁焉。
〕 又術曰：周、徑相乘，四而一。
〔此周與上觚同耳。
周、徑相乘，各當一半。
而今周、徑兩全，故兩母相乘 為四，以報除之。
於徽術，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也。
以一百五十 七乘徑，五十而一，即周也。
新術徑率猶當微少。
據周以求徑，則失之長；據徑 以求周，則失之短。
諸據見徑以求冪者，皆失之於微少；據周以求冪者，皆失之 於微多。
淳風等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即徑；以二十二乘徑，七而一， 即周。
依術求之，即得。
〕 又術曰：逕自相乘，三之，四而一。
〔按：圓逕自乘為外方，三之，四而一者，是為圓居外方四分之三也。
若令 六觚之一面乘半徑，其冪即外方四分之一也。
因而三之，即亦居外方四分之三也。
是為圓裡十二觚之冪耳。
取以為圓，失之於微少。
於徽新術，當逕自乘，又以一 百五十七乘之，二百而一。
淳風等按：密率，令逕自乘，以十一乘之，十四而一，即圓冪也。
〕 又術曰：周自相乘，十二而一。
〔六觚之周，其於圓徑，三與一也。
故六觚之周自相乘為冪，若圓逕自乘者 九方。
九方凡為十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之冪也。
今此令周自 乘，非但若為圓逕自乘者九方而已。
然則十二而一，所得又非十二觚之冪也。
若 欲以為圓冪，失之於多矣。
以六觚之周，十二而一可也。
於徽新術，直令圓周自 乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓冪。
其率：二十五者，周冪也；三 百一十四者，周自乘之冪也。
置周數六尺二寸八分，令自乘，得冪三十九萬四千 三百八十四分。
又置圓冪三萬一千四百分。
皆以一千二百五十六約之，得此率。
淳風等按：方面自乘即得其積。
圓周求其冪，假率乃通。
但此術所求用三、 一為率。
圓田正法，半周及半徑以相乘。
今乃用全周自乘，故須以十二為母。
何 者？據全周而求半周，則須以二為法。
就全周而求半徑，復假六以除之。
是二、 六相乘，除周自乘之數。
依密率，以七乘之，八十八而一。
〕 今有宛田，下週三十步，逕十六步。
問為田幾何？答曰：一百二十步。
又有宛田，下周九十九步，逕五十一步。
問為田幾何？答曰：五畝六十二步 四分步之一。
術曰：以徑乘周，四而一。
〔此術不驗，故推方錐以見其形。
假令方錐下方六尺，高四尺。
四尺為股， 下方之半三尺為句。
正面邪為弦，弦五尺也。
令句弦相乘，四因之，得六十尺， 即方錐四面見者之冪。
若令其中容圓錐，圓錐見冪與方錐見冪，其率猶方冪之與 圓冪也。
按：方錐下六尺，則方週二十四尺。
以五尺乘而半之，則亦錐之見冪。
故求圓錐之數，折徑以乘下周之半，即圓錐之冪也。
今宛田上徑圓穹，而與圓錐 同術，則冪失之於少矣。
然其術難用，故略舉大較，施之大廣田也。
求圓錐之冪， 猶求圓田之冪也。
今用兩全相乘，故以四為法，除之，亦如圓田矣。
開立圓術說 圓方諸率甚備，可以驗此。
〕 今有弧田，弦二十步，矢十五步。
問為田幾何？答曰：一畝九十七步半。
又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。
問為田幾何？答 曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
術曰：以弦乘矢，矢又自乘，並之，二而一。
〔方中之圓，圓裡十二觚之冪，合外方之冪四分之三也。
中方合外方之半， 則朱青合外方四分之一也。
弧田，半圓之冪也。
故依半圓之體而為之術。
以弦乘 矢而半之，則為黃冪，矢自乘而半之，則為二青冪。
青、黃相連為弧體，弧體法 當應規。
今觚面不至外畔，失之於少矣。
圓田舊術以週三徑一為率，俱得十二觚 之冪，亦失之於少也，與此相似。
指驗半圓之冪耳。
若不滿半圓者，益復疏闊。
宜句股鋸圓材之術，以弧弦為鋸道長，以矢為鋸深，而求其徑。
既知圓徑，則弧 可割分也。
割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也。
以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之求股。
以減半徑，其餘即小弦之矢也。
割 之又割，使至極細。
但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣。
然於算數差繁，必欲 有所尋究也。
若但度田，取其大數，舊術為約耳。
〕 今有環田，中周九十二步，外週一百二十二步，逕五步。
〔此欲令與週三徑一之率相應，故言徑五步也。
據中、外周，以徽術言之， 當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。
淳風等按：依密率，合徑四步二十二分步之十七。
〕 問為田幾何？答曰：二畝五十五步。
〔於徽術，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。
淳風等按：依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五。
〕 術曰：並中、外周而半之，以徑乘之，為積步。
〔此田截而中之周則為長。
並而半之知，亦以盈補虛也。
此可令中、外周各 自為圓田，以中圓減外圓，余則環實也。
〕 又有環田，中週六十二步四分步之三，外週一百一十三步二分步之一，逕十 二步三分步之二。
〔此田環而不通匝，故徑十二步三分步之二。
若據上周求徑者，此徑失之於 多，過週三徑一之率，蓋為疏矣。
於徽術，當徑八步六百二十八分步之五十一。
淳風等按：依週三徑一考之，合徑八步二十四分步之一十一。
依密率，合徑 八步一百七十六分步之一十三。
〕 問為田幾何？答曰：四畝一百五十六步四分步之一。
〔於徽術，當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。
依周 三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五。
淳風等按：密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。
〕 術曰：置中、外周步數，分母子各居其下。
母互乘子，通全步內分子。
以中 周減外周，余半之，以益中周。
徑亦通分內子，以乘周為實。
分母相乘為法。
除 之為積步。
余，積步之分。
以畝法除之，即畝數也。
〔按：此術，並中、外周步數於上，分母子於下，母互乘子者，為中外周俱 有餘分，故以互乘齊其子，母相乘同其母。
子齊母同，故通全步，內分子。
半之 知，以盈補虛，得中平之周。
周則為從，逕則為廣，故廣從相乘而得其積。
既合 分母，還須分母出之。
故令周、徑分母相乘而連除之，即得積步。
不盡，以等數 除之而命分。
以畝法除積步，得畝數也。
〕
分類：未分類項