九章算術
卷二
《》作者：張蒼
○粟米（以御一交一 質變易） 粟米之法 〔凡此諸率相與大通，其時相求，各如本率。
可約者約之。
別術然也。
〕 粟率五十大抃五十四稻六十 糲米三十糲飯七十五豉六十三 粺米二十七粺飯五十四飧九十 米二十四飯四十八熟菽一百三半 御米二十一御飯四十二糵一百七十五 小<麥啇>十三半菽荅麻麥各四十五 今有 〔此都術也。
凡九數以為篇名，可以廣施諸率。
所謂告往而知來，舉一隅而 三隅反者也。
誠能分詭數之紛雜，通彼此之否塞，因物成率，審辨名分，平其偏 頗，齊其參差，則終無不歸於此術也。
〕 術曰：以所有數乘所求率為實。
以所有率為法。
〔少者多之始，一者數之母，故為率者必等之於一。
據粟率五、糲率三，是 粟五而為一，糲米三而為一也。
欲化粟為米者，粟當先本是一。
一者，謂以五約 之，令五而為一也。
訖，乃以三乘之，令一而為三。
如是，則率至於一，以五為 三矣。
然先除後乘，或有餘分，故術反之。
又完言之知，粟五升為糲米三升；以 分言之知，粟一斗為糲米五分斗之三，以五為母，三為子。
以粟求糲米者，以子 乘，其母報除也。
然則所求之率常為母也。
淳風等按：「宜雲所求之率常為子，所有之率常為母。」
今乃云「所求之率 常為母」知，脫錯也。
〕 實如法而一。
今有粟一鬥，欲為糲米。
問得幾何？答曰：為糲米六升。
術曰：以粟求糲米，三之，五而一。
〔淳風等按：都術：以所求率乘所有數，以所有率為法。
此術以粟求米，故 粟為所有數。
三是米率，故三為所求率。
五為粟率，故五為所有率。
粟率五十， 米率三十，退位求之，故惟雲三、五也。
〕 今有粟二斗一升，欲為粺米。
問得幾何？答曰：為粺米一斗一升五十分 升之十七。
術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。
〔淳風等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。
〕 今有粟四斗五升，欲為米。
問得幾何？答曰：為米二斗一升五 分升之三。
術曰：以粟求米，十二之，二十五而一。
〔淳風等按：米之率二十有四，以為率太繁，故因而半之。
半所求之 率，以乘所有之數。
所求之率既減半，所有之率亦減半。
是故十二乘之，二十五 而一也。
〕 今有粟七斗九升，欲為御米。
問得幾何？答曰：為御米三斗三升五十分升之 九。
術曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。
今有粟一鬥，欲為小<麥啇>。
問得幾何？答曰：為小<麥啇>二升一十分升之 七。
術曰：以粟求小<麥啇>，二十七之，百而一。
〔淳風等按：小<麥啇>之率十三有半。
半者二為母，以二通之，得二十七， 為所求率。
又以母二通其粟率，得一百，為所有率。
凡本率有分者，須即乘除也。
他皆仿此。
〕 今有粟九斗八升，欲為大<麥啇>。
問得幾何？答曰：為大<麥啇>一十斗五升 二十五分升之二十一。
術曰：以粟求大<麥啇>，二十七之，二十五而一。
〔淳風等按：大<麥啇>之率五十有四。
因其可半，故二十七之，亦如粟求 米，半其二率。
〕 今有粟二斗三升，欲為糲飯。
問得幾何？答曰：為糲飯三斗四升半。
術曰：以粟求糲飯，三之，二而一。
〔淳風等按：糲飯之率七十有五，粟求糲飯，合以此數乘之。
今以等數二十 有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。
〕 今有粟三斗六升，欲為粺飯。
問得幾何？答曰：為粺飯三斗八升二十五 分升之二十二。
術曰：以粟求粺飯，二十七之，二十五而一。
〔淳風等按：此術與大<麥啇>多同。
〕 今有粟八斗六升，欲為飯。
問得幾何？答曰：為飯八斗二升二 十五分升之一十四。
術曰：以粟求飯，二十四之，二十五而一。
〔淳風等按：<麥啇>飯率四十八。
此亦半二率而乘除。
〕 今有粟九斗八升，欲為御飯。
問得幾何？答曰：為御飯八斗二升二十五分升 之八。
術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。
〔淳風等按：此術半率，亦與飯多同。
〕 今有粟三斗少半升，欲為菽。
問得幾何？答曰：為菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四斗一升太半升，欲為荅。
問得幾何？答曰：為荅三斗七升半。
今有粟五斗太半升，欲為麻。
問得幾何？答曰：為麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二，欲為麥。
問得幾何？答曰：為麥九斗七升二 十五分升之一十四。
術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。
〔淳風等按：四術率並四十五，皆是為粟所求，俱合以此率乘其本粟。
術欲 從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，義由於此。
〕 今有粟七斗五升七分升之四，欲為稻。
問得幾何？答曰：為稻九斗三十五分 升之二十四。
術曰：以粟求稻，六之，五而一。
〔淳風等按：稻率六十，亦約二率而乘除。
〕 今有粟七斗八升，欲為豉。
問得幾何？答曰：為豉九斗八升二十五分升之七。
術曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
今有粟五斗五升，欲為飧。
問得幾何？答曰：為飧九斗九升。
術曰：以粟求飧，九之，五而一。
〔淳風等按：飧率九十，退位，與求稻多同。
〕 今有粟四斗，欲為熟菽。
問得幾何？答曰：為熟菽八斗二升五分升之四。
術曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。
〔淳風等按：熟菽之率一百三半。
半者，其母二，故以母二通之。
所求之率 既被二乘，所有之率隨而俱長，故以二百七之，百而一。
〕 今有粟二鬥，欲為糵。
問得幾何？答曰：為糵七斗。
術曰：以粟求糵，七之，二而一。
〔淳風等按：糵率一百七十有五，合以此數乘其本粟。
術欲從省，先以等數 二十五約之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。
〕 今有糲米十五斗五升五分升之二，欲為粟。
問得幾何？答曰：為粟二十五斗 九升。
術曰：以糲米求粟，五之，三而一。
〔淳風等按：上術以粟求米，故粟為所有數，三為所求率，五為所有率。
今 此以米求粟，故米為所有數，五為所求率，三為所有率。
准都術求之，各合其數。
以下所有反求多同，皆准此。
〕 今有粺米二鬥，欲為粟。
問得幾何？答曰：為粟三斗七升二十七分升之一。
術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。
今有米三斗少半升，欲為粟。
問得幾何？答曰：為粟六斗三升三十六 分升之七。
術曰：以米求粟，二十五之，十二而一。
今有御米十四斗，欲為粟。
問得幾何？答曰：為粟三十三斗三升少半升。
術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲為粟。
問得幾何？答曰：為粟 一十斗五升九分升之七。
術曰：以稻求粟，五之，六而一。
今有糲米一十九斗二升七分升之一，欲為粺米。
問得幾何？答曰：為粺 米一十七斗二升一十四分升之一十三。
術曰：以糲米求粺米，九之，十而一。
〔淳風等按：粺米率二十七，合以此數乘糲米。
術欲從省，先以等數三約 之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。
〕 今有糲米六斗四升五分升之三，欲為糲飯。
問得幾何？答曰：為糲飯一十六 斗一升半。
術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一。
〔淳風等按：糲飯之率七十有五，宜以本糲米乘此率數。
術欲從省，先以等 數十五約之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，義由於此。
〕 今有糲飯七斗六升七分升之四，欲為飧。
問得幾何？答曰：為飧九斗一升三 十五分升之三十一。
術曰：以糲飯求飧，六之，五而一。
〔淳風等按：飧率九十，為糲飯所求，宜以糲飯乘此率。
術欲從省，先以等 數十五約之，所求之率得六，所有之率得五。
以此，故六乘五除也。
〕 今有菽一鬥，欲為熟菽。
問得幾何？答曰：為熟菽二斗三升。
術曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。
〔淳風等按：熟菽之率一百三半。
因其有半，各以母二通之，宜以菽數乘此 率。
術欲從省，先以等數九約之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。
〕 今有菽二鬥，欲為豉。
問得幾何？答曰：為豉二斗八升。
術曰：以菽求豉，七之，五而一。
〔淳風等按：豉率六十三，為菽所求，宜以菽乘此率。
術欲從省，先以等數 九約之，所求之率得七，而所有之率得五也。
〕 今有麥八斗六升七分升之三，欲為小<麥啇>。
問得幾何？答曰：為小<麥啇> 二斗五升一十四分升之一十三。
術曰：以麥求小<麥啇>，三之，十而一。
〔淳風等按：小<麥啇>之率十三半，宜以母二通之，以乘本麥之數。
術欲從 省，先以等數九約之，所求之率得三，所有之率得十也。
〕 今有麥一鬥，欲為大<麥啇>。
問得幾何？答曰：為大抃一斗二升。
術曰：以麥求大<麥啇>，六之，五而一。
〔淳風等按：大<麥啇>之率五十有四，合以麥數乘此率。
術欲從省，先以等 數九約之，所求之率得六，所有之率得五也。
〕 今有出錢一百六十，買瓴甓十八枚。
〔瓴甓，磚也。
〕 問枚幾何？答曰：一枚八錢九分錢之八。
今有出錢一萬三千五百，買竹二千三百五十個。
問個幾何？答曰：一個，五 錢四十七分錢之三十五。
經率術曰：以所買率為法，所出錢數為實，實如法得一。
〔此術猶經分。
淳風等按：今有之義，以所求率乘所有數，合以瓴甓一枚乘錢一百六十為實。
但以一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之率與所出之錢為法、實也。
又按：此 今有之義。
出錢為所有數，一枚為所求率，所買為所有率，而今有之，即得所求 數。
一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之率為法，以所出之錢為實，實如法得 一枚錢。
不盡者，等數而命分。
〕 今有出錢五千七百八十五，買漆一斛六斗七升太半升。
欲斗率之，問斗幾何？ 答曰：一鬥，三百四十五錢五百三分錢之一十五。
今有出錢七百二十，買縑一匹二丈一尺。
欲丈率之，問丈幾何？答曰：一丈， 一百一十八錢六十一分錢之二。
今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺。
欲匹率之，問匹幾何？答曰： 一匹，二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四。
今有出錢一萬三千六百七十，買絲一石二鈞一十七斤。
欲石率之，問石几何？ 答曰：一石，八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八。
術曰：以求所率乘錢數為實，以所買率為法，實如法得一。
〔淳風等按：今有之義，錢為所求率，物為所有數，故以乘錢，又以分母乘 之為實。
實如法而一，有分者通之。
所買通分內子為所有率，故以為法。
得錢數 不盡而命分者，因法為母，實余為子。
實見不滿，故以命之。
〕 今有出錢五百七十六，買竹七十八個。
欲其大小率之，問各幾何？答曰：其 四十八個，個七錢；其三十個，個八錢。
今有出錢一千一百二十，買絲一石二鈞十八斤。
欲其貴賤斤率之，問各幾何？ 答曰：其二鈞八斤，斤五錢；其一石一十斤，斤六錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。
欲其貴賤石 率之，問各幾何？答曰：其一鈞九兩一十二銖，石八千五十一錢；其一石一鈞二 十七斤九兩一十七銖，石八千五十二錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。
欲其貴賤鈞 率之，問各幾何？答曰：其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢；其一石二鈞二十 斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。
欲其貴賤斤 率之，問各幾何？答曰：其一石二鈞七斤十兩四銖，斤六十七錢；其二十斤九兩 一銖，斤六十八錢。
今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。
欲其貴賤兩 率之，問各幾何？答曰：其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖，兩四錢；其一鈞一 十斤五兩四銖，兩五錢。
其率術曰：各置所買石、鈞、斤、兩以為法，以所率乘錢數為實，實如法 而一。
不滿法者，反以實減法。
法賤實貴。
其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、 實，各得其積數，余各為銖。
〔其率知，欲令無分。
按：出錢五百七十六，買竹七十八個，以除錢，得七， 實余三十，是為三十個復可增一錢。
然則實余之數即是貴者之數，故曰實貴也。
本以七十八個為法，今以貴者減之，則其餘悉是賤者之數。
故曰法賤也。
其求石、 鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其積數，余各為銖者，謂石、鈞、斤、兩 積銖除實，又以石、鈞、斤、兩積銖除法，余各為銖，即合所問。
〕 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。
欲其貴賤銖 率之，問各幾何？答曰：其一鈞二十斤六兩十一銖，五銖一錢；其一石一鈞七斤 一十二兩一十八銖，六銖一錢。
今有出錢六百二十，買羽二千一百翭。
〔翭，羽本也。
數羽稱其本，猶數草木稱其根株。
〕 欲其貴賤率之，問各幾何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一錢； 其九百六十翭，四翭錢。
今有出錢九百八十，買矢榦五千八百二十枚。
欲其貴賤率之，問各幾何？答 曰：其三百枚，五枚一錢；其五千五百二十枚，六枚一錢。
反其率術曰：以錢數為法，所率為實，實如法而一。
不滿法者，反以實減 法。
法少實多。
二物各以所得多少之數乘法、實，即物數。
〔按：其率：出錢六百二十，買羽二千一百翭。
反之，當二百四十錢， 一錢翭；其三百八十錢，一錢三翭。
是錢有二價，物有貴賤。
故以羽乘 錢，反其率也。
淳風等按：其率者，錢多物少；反其率知，錢少物多；多少相反，故曰反其 率也。
其率者，以物數為法，錢數為實。
反之知，以錢數為法，物數為實。
不滿 法知，實余也。
當以余物化為錢矣。
法為凡錢，而今以化錢減之，故以實減法。
法少知，經分之所得，故曰法少；實多者，余分之所益，故曰實多。
乘實宜以多， 乘法宜以少，故曰各以其所得多少之數乘法、實，即物數。
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